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C Les définitions des éléments de contenu

Table des matières : Le langage de balisage mathématique (MathML) version 2.0
Chapitre précédent : B La grammaire de validation du balisage de contenu
Chapitre suivant : D Le modèle objet de document de MathML

C Les définitions des éléments de contenu
- C.1 À propos des éléments du balisage de contenu
  - C.1.1 Les définitions par défaut
  - C.1.2 La structure d'une définition MMLdefinition
- C.2 Les définitions des éléments de contenu MathML
  - C.2.1 Les éléments atomiques
  - C.2.2 Les éléments de contenu de base
  - C.2.3 L'arithmétique, l'algèbre et la logique
  - C.2.4 Les relations
  - C.2.5 Le calcul et le calcul vectoriel
  - C.2.6 La théorie des ensembles
  - C.2.7 Les suites et les séries
  - C.2.8 Les fonctions classiques élémentaires
  - C.2.9 Les statistiques
  - C.2.10 L'algèbre linéaire
  - C.2.11 Les constantes et les symboles

C.1 À propos des éléments du balisage de contenu

Le rôle principal des éléments de contenu MathML consiste à fournir un mécanisme pour rendre compte de la signification mathématique particulière d'une structure de notation particulière. Pour cela, une définition mathématique doit être associée à chaque élément de contenu d'une manière ou d'une autre. Le but de cette annexe est de fournir des définitions par défaut. (On donne un index de ces définitions plus loin dans ce document). Les auteurs peuvent adapter la notation selon leurs besoins particuliers propres en utilisant les mécanismes fournis pour remplacer les définitions par défaut de ces éléments de contenu sélectionnés.

Les définitions mathématiques suivantes ne se restreignent pas à un seul format. Plusieurs justifications à cela, presque toutes découlant de l'importance extrême de permettre aux auteurs de réutiliser les définitions existantes issues de la littérature mathématique :

Il n'existe pas de notation convenable d'utilisation courante. Par exemple, même les bibliothèques mathématiques des systèmes de calcul mathématique les plus complètes utilisées aujourd'hui ne saisissent qu'une petite fraction de la littérature mathématique, en outre une grande partie des mathématiques ne concerne pas le calcul ;
Dans la plupart des cas, la traduction d'une définition mathématique dans une nouvelle notation représente un gaspillage d'énergie et de temps pour l'auteur ;
La tâche de concevoir un nouveau langage, lisible par une machine, qui convient pour enregistrer des descriptions sémantiques, dépasse largement le cadre de cette recommandation particulière. Elle empièterait aussi considérablement sur les efforts d'autres groupes, tel que le Consortium OpenMath (cf. également le North American OpenMath Initiative et l'European OpenMath Consortium).

Les questions cruciales pour des besoins d'archivage et de calcul sont celles concernant l'existence d'une définition et partant que l'auteur puisse disposer d'un mécanisme permettant d'indiquer que telle définition est prévue pour telle instance d'une structure de notation. Cette condition est importante, qu'une mise en œuvre d'un concept ou d'un objet particuliers existent ou non dans un système de calcul mathématique. La définition peut, par exemple, se réduire à une affirmation aussi vague que F est une fonction inconnue mais dérivable de l'ensemble des réels vers l'ensemble des réels, ou se compliquer jusqu'à imposer que F soit une fonction élaborée, ou une opération, telle que définie dans un journal scientifique particulier. Il importe que le lecteur dispose toujours d'un moyen permettant de déterminer comment la notation est employée.

C.1.1 Les définitions par défaut

La décision de l'auteur d'utiliser des éléments de contenu revient à se servir d'objets définis. Des définitions par défaut sont offertes pour faciliter cette décision. Ainsi, l'auteur n'a besoin de fournir des définitions explicites que si l'utilisation diffère de celle définie par défaut. Lorsque c'est possible, les définitions ont naturellement été choisies pour refléter l'utilisation courante.

Les définitions d'une instance particulière se remplacent en utilisant l'attribut definitionURL. La valeur de cet attribut est une adresse URI (contrairement à sa dénomination ancienne) dont le format n'est en outre pas défini. La valeur de definitionURL peut même être un nom inventé par l'auteur. Auquel cas, elle prévient le lecteur (et les systèmes de calcul) de l'utilisation par l'auteur d'une définition locale privée. Cela peut être l'adresse URL d'une publication mathématique ou une référence dans une source traditionnelle où la structure est définie. Si l'opérateur mathématique de l'auteur correspond exactement à l'opérateur d'un système de calcul particulier, un élément MathML semantics pourrait constituer une définition appropriée permettant d'établir une correspondance entre deux codages. Quel que soit le format choisi, la seule condition est d'indiquer un certain type de définition.

Le reste de cette annexe fournit les descriptions détaillées des sémantiques associées à chacun des éléments de contenu MathML. Dans la mesure où c'est exactement le rôle attendu des codages en cours de développement par le Consortium OpenMath et que l'un de nos objectifs est de stimuler la coopération dans ces efforts de standardisation, nous avons présenté les définitions par défaut dans un format modelé sur les dictionnaires de contenu OpenMath. Bien que les choses diffèrent en réalité quelque peu de la spécification OpenMath, les principes sous-jacents sont les mêmes.

Beaucoup de définitions fournies ici se rapportent à une ou plusieurs entrées des standards mathématiques de référence que sont le Abramowitz et Stegun [Abramowitz1997] et le Standard Mathematical Tables and Formulae [Zwillinger1988].

C.1.2 La structure d'une définition `MMLdefinition`

Dans la source XML de cette annexe, chaque élément MathML est décrit à l'aide d'un vocabulaire XML conçu pour cet usage. Par contre, quoique bien adaptée à un traitement mécanique, la forme XML des définitions est difficile à lire par un humain. Le texte à suivre est donc composé automatiquement, d'après des transformations XSL de la source XML (et par composition en ce qui concerne les versions PDF de la spécification MathML), mais formaté pour qu'il soit plus facile à lire et à comprendre. Les conventions employées seront expliquées juste après au fur et à mesure des éléments de balisage de la source XML. La première définition en exemple, mais uniquement celle-ci, sera donnée dans la forme la plus lisible et dans la forme XML brute, afin d'apprécier la différence.

L'élément de premier niveau est MMLdefinition. Les sous-éléments identifient les diverses parties de la description et comprennent :

nom

Une valeur de type PCDATA fournissant le nom de l'élément MathML.

description

Une description de type CDATA de l'objet représenté par l'élément. Elle fera souvent référence à des textes ou articles plus traditionnels, ou à des articles existants sur le Web.

classification

Chaque élément MathML doit être classé conformément à son rôle mathématique :

ponctuation: Certains éléments existent simplement pour aider l'analyse. Par exemple, on utilise l'élément sep pour séparer les valeurs CDATA définissant un nombre rationnel en deux parties afin d'en faciliter l'analyse par une application XML. On désigne ces objets par le terme générique ponctuation.
descripteur: Certains éléments existent simplement pour modifier les propriétés d'un élément ou d'un objet mathématique existants. Par exemple, la structure declare sert à réinitialiser les valeurs par défaut des attributs, ou à associer un nom à l'instance spécifique d'un objet. On désigne ces types d'éléments par le terme générique descripteurs, et le type de l'objet résultant est le même que celui de l'élément à modifier mais avec les nouvelles valeurs d'attributs.
fonction (opérateur): Les fonctions et opérateurs mathématiques traditionnels sont représentés dans MathML par des éléments XML vides, tels que plus et sin. Ces définitions de fonction sont paramétrées par les valeurs de leurs attributs XML (par exemple, elles peuvent être du type vecteur), et on les utilise telles quelles, par exemple, pour l'explication des propriétés d'une fonction ou d'un opérateur particuliers, ou bien on les applique à des arguments à l'aide d'un élément apply. Dans ce dernier cas, on dit qu'il s'agit d'une application de fonction. Les fonctions sont souvent classées selon leur utilisation. Par exemple, l'élément plus est un opérateur n-aire. Cette donnée supplémentaire est saisie par la signature. La signature d'une fonction (cf. ci-dessous) décrit comment utiliser une fonction mathématique au sein d'un élément apply. Chaque combinaison des types d'arguments de fonction utilisés dans un élément apply établit un élément apply d'un type donné.
constante: Les constantes mathématiques sont généralement représentés par des éléments vides et se distinguent des fonctions par le fait qu'elles ne sont pas employées comme premier argument d'un élément apply. Leur signature est simplement le type des objets qu'elles représentent.
constructeur: Les objets restants qui contiennent des sous-éléments sont tous des constructeurs d'objets d'un type ou d'un autre. Ils combinent les sous-éléments en un seul objet mathématique composé, tels qu'une constante, un ensemble ou une application de fonction. Par exemple, l'élément lambda construit une définition de fonction d'après une liste de variables et une expression, tandis que l'élément apply construit une application de fonction. Par application de fonction, on entend le résultat de l'application du premier élément de apply (la fonction) sur zéro à plusieurs éléments restants (les arguments). Une application de fonction représente un objet dans l'ensemble d'arrivée de la fonction. Pour chaque combinaison donnée de types et d'ordres des sous-éléments XML, la signature d'un constructeur indique le type (et parfois le sous-type) de l'objet résultant.

MMLattribute

Certains des attributs XML d'un élément de contenu MathML peuvent influer directement sur la signification mathématique de l'objet. Par exemple, l'attribut type de l'élément cn sert à déterminer quel type de constante (entier, réel, etc.) est construit. Seuls les attributs affectant les propriétés mathématiques d'un objet sont listés ici et, habituellement, ils apparaissent aussi explicitement dans la signature.

signature

La signature est une représentation systématique associant les types des différentes combinaisons possibles d'attributs et d'arguments de fonction au type de l'objet mathématique à construire. Les combinaisons possibles des types de paramètres et d'arguments (le côté gauche) résultent chacune en un objet d'un certain type (le côté droit). En fait, la signature décrit comment résoudre la surcharge des opérateurs. Pour les constructeurs, le côté gauche de la signature décrit les types des sous-éléments et le côté droit indique le type de l'objet construit. Pour les fonctions, le côté gauche de la signature indique les types de paramètres et d'arguments à attendre quand une fonction s'applique, ou sert à construire une relation, et le côté droit représente le type mathématique de l'objet construit par l'élément apply. Les modificateurs altèrent les attributs d'un objet existant. Par exemple, un symbole peut devenir un symbole de type vecteur. La signature doit être capable d'enregistrer des valeurs d'attributs et des types d'arguments spécifiques sur la gauche, et des types paramétrés sur la droite. La syntaxe utilisée pour les signatures est de la forme générale suivante :

[<nom d'attribut>=<valeur-attribut>]( <liste de types d'arguments> )
--> <type du résultat mathématique>(<sous-type mathématique>)

Le cas échéant, les définitions MMLattribute apparaissent sous la forme <nom>=<valeur>. Elles sont séparées du reste des arguments dans la notation par des crochets. Habituellement, les valeurs possibles proviennent d'une liste énumérée et la signature est affectée par la sélection d'une valeur spécifique. Pour les arguments de fonctions et les paramètres nommés réels à gauche, l'accent est mis sur les types mathématiques impliqués. Les types d'arguments des fonctions sont présentés dans une syntaxe similaire à celle employée pour une définition DTD, à l'exception notable suivante. Les types des paramètres nommés apparaissent dans la signature sous la forme <nom-de-l'élément>=<type>, analogue à la syntaxe employée pour les valeurs d'attributs. Par exemple, si l'argument est nommé (par exemple, bvar), alors il est représenté dans la signature par une équation comme dans :

[<nom d'attribut>=<valeur-attribut>]( bvar=symbol,<liste d'arguments> ) -->
<type du résultat mathématique>(<sous-type mathématique>)

Il n'y a aucun système de typage formel dans MathML. Les valeurs de types utilisées dans les signatures sont les types mathématiques courants, tels que entier, rationnel, réel, complexe (comme dans la description de l'élément cn), ou un nom, tels qu'une chaîne ou le nom d'un contructeur MathML. De temps en temps, des collections de types diverses, telles que anything, matrixtype, sont utilisées. Le nom de type mmlpresentation sert à représenter n'importe quel objet de présentation MathML valide, et le nom MathMLtype sert à décrire la collection de tous les types MathML. Le type algebraic sert pour les expressions construites d'après un ou plusieurs symboles au travers d'opérations arithmétiques, et le type interval-type désigne les types d'intervalles valides, comme définis au chapitre 4. La collection de types n'est pas fermée. Les utilisateurs écrivant leurs propres définitions de nouvelles structures peuvent introduire des types nouveaux. Plusieurs signatures peuvent s'appliquer selon les types impliqués. Par exemple, beaucoup d'opérations arithmétiques impliquant des entiers correspondent aux entiers mais, puisque les entiers sont des nombre réels, la signature des nombres réels est également valide. En général, la signature offrant le plus d'informations est celle convenant le mieux. Aucune évaluation mathématique n'intervient jamais dans MathML. Chaque élément de contenu MathML désigne un objet défini, telle qu'une fonction mathématique, ou bien combine ces objets d'une façon ou d'une autre pour en construire un nouveau. Pour les besoins de signature, l'objet construit représente un objet d'un certain type paramétré. Par exemple, le résultat de l'application de l'élément plus à des arguments est une expression représentant une somme. Le type de l'expression résultante dépend des types des opérandes et des valeurs d'attributs MathML.

exemple

Des exemples d'utilisation de cet objet dans MathML sont compris dans ces éléments.

propriété

Cet élément décrit les propriétés mathématiques de tels objets. Pour les associations de valeurs simples à des instances spécifiques d'un objet, le premier sous-élément est une instance de l'objet à définir. Le second est un élément value, ou approx (approximation), contenant une description MathML de cette valeur particulière. On exprime des conditions plus élaborées sur l'objet en utilisant la syntaxe MathML.

commentaire

Ces éléments ne contiennent que des valeurs de type PCDATA et ils peuvent apparaître comme sous-éléments de la définition MMLdefinition en n'importe quel point.

C.2 Les définitions des éléments de contenu MathML

C.2.1 Les éléments atomiques

C.2.1.1 MMLdefinition : `cn`

Description

L'élément cn sert à coder des constantes numériques. Le type mathématique du nombre est donné par un attribut. Le type par défaut est "real". La définition complète des nombres ~~en virgule flottante~~ en notation scientifique, des rationnels et des complexes nécessite deux parties. Ces parties sont séparées par un élément sep vide.

Beaucoup de constantes numériques courantes, tel que π, ont leur propre élément.

Cf. également la section 4.4.1.1 Les nombres (cn).

Classification

constante

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	integer \| rational \| complex-cartesian \| complex-polar \| real \| ~~floating-point~~ e-notation \| MathMLtype	real
base	entier entre 2 et 36	10

Signature

[type=integer](numstring) -> constant(integer)

[base=base-value](numstring) -> constant(integer)

[type=rational](numstring,numstring) -> constant(rational)

[type=complex-cartesian](numstring,numstring) -> constant(complex)

[type=rational](numstring,numstring) -> constant(rational)

[type=e-notation](numstring,numstring) -> constant(e-notation)

[definitionURL=definition](numstring*) -> constant(user-defined)

Propriété

<apply><eq/><cn base="16"> A </cn><cn> 10 </cn></apply>

Propriété

<apply><eq/><cn base="16"> B </cn><cn> 11 </cn></apply>

Propriété

<apply><eq/><cn base="16"> C </cn><cn> 12 </cn></apply>

Propriété

<apply><eq/><cn base="16"> D </cn><cn> 13 </cn></apply>

Propriété

<apply><eq/><cn base="16"> E </cn><cn> 14 </cn></apply>

Propriété

<apply><eq/><cn base="16"> F </cn><cn> 15 </cn></apply>

Exemple

<cn> 245 </cn>

Exemple

<cn type="integer"> 245 </cn>

Exemple

<cn type="integer" base="16"> A </cn>

Exemple

<cn type="rational"> 245 <sep/> 351 </cn>

Exemple

<cn type="complex-cartesian"> 1 <sep/> 2 </cn>

Exemple

<cn> 245 </cn>

Exemple

<apply><eq/>
<cn type="e-notation"> 2 <sep/> 5 </cn>
<apply><times/><cn>2</cn><apply><power/><cn>10</cn><cn>5</cn></apply></apply>
</apply>

C.2.1.2 MMLdefinition : `ci`

Description

Cet élément construit un identificateur (un nom symbolique). L'attribut type sert à indiquer le type de l'objet défini. Par défaut, l'attribut type vaut "real".

Cf. également la section 4.4.1.2 Les identificateurs (ci).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	constant \| matrix \| set \| vector \| list \| MathMLtype	real

Signature

({string|mmlpresentation}) -> symbol

[type=typename]({string|mmlpresentation}) -> symbol(typename)

Exemple

<ci> xyz </ci>

Exemple

<ci> type="vector"> v </ci>

C.2.1.3 MMLdefinition : `csymbol`

Description

L'élément csymbol permet à l'auteur d'introduire des objets nouveaux dans MathML. Les objets sont liés à des définitions externes au moyen des attribut definitionURL et encoding. L'élément csymbol devient le nom du nouvel objet. Les nouveaux objets sont habituellement des constantes ou bien des fonctions.

Cf. également la section 4.4.1.3 Les symboles à définition externe (csymbol).

Classification

constante, fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

[definitionURL=definition]({string|mmlpresentation}) -> defined_symbol

[type=typename]({string|mmlpresentation}) -> defined_symbol(typename)

Exemple

<csymbol definitionURL=".../mydefinitionofPi">&pi;</csymbol>

C.2.2 Les éléments de contenu de base

C.2.2.1 MMLdefinition : `apply`

Description

C'est le constructeur MathML d'application de fonction. Le premier argument est appliqué aux autres arguments. Certains sous-éléments peuvent être des éléments nommés (cf. signature).

Cf. également la section 4.4.2.1 Les applications (apply).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function,anything*) -> apply

Exemple

<apply><plus/>
  <ci>x</ci>
  <cn>1</cn>
</apply>

Exemple

<apply><sin/>
  <ci>x</ci>
</apply>

C.2.2.2 MMLdefinition : `reln`

Description

Ce constructeur est déconseillé. L'élément apply remplace reln dans toutes les utilisations.

C'était le constructeur MathML 1.0 pour exprimer une relation entre deux objets mathématiques (ou plus). Le premier argument indique le type de relation entre les autres arguments (cf. signature). Aucune hypothèse n'est faite concernant la valeur de vérité d'une telle relation. Normalement, la relation est utilisée comme composante de la construction d'une certaine assertion logique. On peut combiner les relations en ensembles, etc., comme tout autre objet mathématique.

Cf. également la section 4.4.2.2 Les relations (reln).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function,anything*) -> reln

Exemple

Aucun exemple de structure déconseillée n'est fourni.

C.2.2.3 MMLdefinition : `fn`

Description

Ce constructeur est déconseillé.

C'était le constructeur MathML 1.0 pour construire des fonctions nouvelles. Son rôle consistait à identifier un objet de contenu MathML général comme étant une fonction, qu'on puisse le définir et l'utiliser dans un contexte de fonction comme dans apply et declare. On y parvient désormais en utilisant l'attribut definitionURL et au fait que les éléments declare et apply admettent n'importe quel élément de contenu comme premier argument.

Cf. également la section 4.4.2.3 Les fonctions (fn).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(anything) -> function

[definitionURL=functiondef](anything) ->function

Exemple

Aucun exemple de structure déconseillée n'est fourni.

C.2.2.4 MMLdefinition : `interval`

Description

C'est l'élément constructeur MathML pour construire un intervalle dans l'ensemble des réels. Quoiqu'on puisse exprimer un intervalle au moyen d'une combinaison appropriée de relations, ils apparaissent ici explicitement en raison de leur utilisation fréquente.

Cf. également la section 4.4.2.4 Les intervalles (interval).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	closed \| open \| open-closed \| closed-open	closed

Signature

[type=interval-type](expression,expression) -> interval(interval-type)

Exemple

<apply><interval closure="open"/>
  <ci>x</ci>
  <cn>1</cn>
</apply>

Exemple

<apply><interval closure="open-closed"/>
  <cn>0</cn>
  <cn>1</cn>
</apply>

C.2.2.5 MMLdefinition : `inverse`

Description

Cet élément MathML s'applique à une fonction pour en construire une nouvelle que l'on interprète comme la fonction symétrique de la fonction originale. Pour une fonction F donnée, la fonction inverse(F) composée avec F se comporte comme l'application identique sur le domaine de F, et F composée avec inverse(F) devrait être une fonction identique dans un sous-ensemble restreint approprié de l'ensemble d'arrivée de F. On devrait utiliser l'attribut definitionURL de MathML pour résoudre les ambiguïtés de notation, ou pour restreindre le symétrique à un domaine particulier ou en faire une fonction à sens unique.

Cf. également la section 4.4.2.5 Les symétriques (inverse).

Classification

opérateur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function) -> function

[definitionURL=URI](function) -> function(definition)

Propriété

ForAll( y such y in domain( f^(-1)) , f( f^(-1)(y)) = y


<apply><forall/>
  <bvar><ci>y</ci></bvar>
  <bvar><ci type="function">f</ci></bvar>
  <condition>
    <apply><in/>
      <ci>y</ci>
      <apply><csymbol definitionURL="domain"><mtext>Domain</mtext></csymbol>
        <apply><inverse/><ci type="function">f</ci></apply>
      </apply>
    </apply>
  </condition>
  <apply><eq/>
    <apply><ci type="function">f</ci>
      <apply><apply><inverse/><ci type="function">f</ci></apply>
        <ci>y</ci>
      </apply>
    </apply>
    <ci>y</ci>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply><inverse/>
<sin/>
</apply>

Exemple

<apply><inverse definitionURL="www.example.com/MathML/Content/arcsin"/>
  <sin/>
</apply>

C.2.2.6 MMLdefinition : `sep`

Description

C'est le constructeur MathML infixe utilisé pour subdiviser des valeurs de type PCDATA en composants distincts. On l'utilise pour décrire les nombres en plusieurs parties, tels que les rationnels ou les nombres complexes.

Cf. également la section 4.4.2.6 Le séparateur (sep).

Classification

ponctuation

Exemple

<cn type="complex-polar">123<sep/>456</cn>

Exemple

<cn>123</cn>

C.2.2.7 MMLdefinition : `condition`

Description

C'est le constructeur MathML pour construire des conditions. Une condition diffère d'une relation selon la façon dont on l'utilise. Une relation est simplement une expression, tandis qu'une condition sert comme prédicat pour placer des conditions sur des variables liées.

On peut construire des conditions composées en appliquant des opérateurs, tels que and ou or.

Cf. également la section 4.4.2.7 Les conditions (condition).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(apply) -> predicate

Exemple

<condition>
  <apply><lt/>
    <apply><power/><ci>x</ci><cn>5</cn></apply>
    <cn>3</cn>
  </apply>
</condition>

C.2.2.8 MMLdefinition : `declare`

Description

C'est le constructeur MathML pour associer des valeurs d'attributs par défaut et des valeurs à des objets mathématiques. Par exemple, V peut être un identificateur déclaré comme étant un vecteur (avoir pour attribut le type vecteur), ou V peut être un nom représentant un vecteur particulier.

Les valeurs d'attributs de la déclaration declare elle-même deviennent les valeurs d'attributs par défaut du premier argument de l'élément declare.

S'il y a un second argument, le premier argument devient un alias du second, et il en adopte également toutes les propriétés. Par exemple, l'identificateur v d'un élément ci, déclaré comme étant le vecteur (1,2,3), apparaîtrait dans un style de vecteur et sa norme serait celle de (1,2,3).

Cf. également la section 4.4.2.8 Les déclarations (declare).

Classification

modificateur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLtype	aucune
nargs	nombre d'arguments d'un objet d'opérateur	*
occurrence	infix \| prefix	prefix

Signature

[(attributename=attributevalue)*](anything) -> [(attributename=attributevalue)*](anything)

[(attributename=attributevalue)*](anything,anything) -> [(attributename=attributevalue)*](anything)

(anything,anything) -> (anything)

Exemple

<declare>
  <ci>y</ci>
  <apply><plus/><ci>x</ci><cn>3</cn></apply>
</declare>

Exemple

<declare type="vector"> <ci> V </ci> </declare>

Exemple

<declare type="vector">
  <ci> V </ci>
  <vector><cn> 1 </cn><cn> 2 </cn><cn> 3 </cn></vector>
</declare>

C.2.2.9 MMLdefinition : `lambda`

Description

C'est l'opération de lambda calcul pour construire une fonction d'après une expression et une variable. La fonction lambda est une fonction n-aire, dans laquelle tous les arguments sauf le dernier sont des variables liées, le dernier argument étant une expression impliquant éventuellement ces variables. On peut assimiler la fonction lambda à l'inverse d'une application de fonction.

Par exemple, Lambda( x, F ) s'écrit \lambda x [F] dans la littérature du lambda calcul. L'expression F peut contenir x mais l'expression lambda complète est vue comme libre de x. Une application de calcul recevant une expression lambda MathML ne devrait pas évaluer x ou faire de test pour x. Une telle application peut appliquer l'expression lambda comme une fonction à des arguments, auquel cas tout résultat calculé l'est par des remplacements de paramètres dans F.

Remarquez qu'une expression lambda sur une fonction arbitraire appliquée à un argument simple équivaut à cette fonction arbitraire.

Cf. également la section 4.4.2.9 La construction lambda (lambda).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(bvar*,anything) -> function

Propriété

ForAll( F , lambda(x,F(x)) = F)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>F</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <lambda>
      <bvar><ci>x</ci></bvar>
      <apply><ci>F</ci><ci>x</ci></apply>
    </lambda>
    <ci>F</ci>
  </apply>
</apply>

Exemple

<lambda>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><sin/><apply><plus/><ci> x </ci><cn> 3 </cn></apply></apply>
</lambda>

C.2.2.10 MMLdefinition : `compose`

Description

C'est le constructeur MathML pour la composition des fonctions. Pour qu'une composition soit significative, l'ensemble d'arrivée de la première fonction devrait être le domaine de la seconde, etc. Toutefois, puisqu'aucune évaluation n'intervient dans MathML, on peut utiliser sans risque cette structure pour faire des déclarations, telle que f composée par g ne soit pas définie.

Le résultat est une nouvelle fonction dont le domaine est celui de la première fonction et l'ensemble d'arrivée celui de la dernière fonction, et dont la définition équivaut à appliquer chaque fonction à son tour sur la sortie de la précédente, comme dans :

( f @ g )( x ) == f( g(x) )

Cette fonction est souvent indiquée par un opérateur infixe ayant la forme d'un petit cercle.

Cf. également la section 4.4.2.10 La composition des fonctions (compose).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function*) -> function

Propriété

ForAll(x, (f@g)(x) = f(g(x))

<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar><bvar><ci>f</ci></bvar><bvar><ci>g</ci></bvar>   
  <apply><eq/>
    <apply><apply><compose/><ci>f</ci><ci>g</ci></apply>
      <ci>x</ci>
    </apply>
    <apply><ci>f</ci><apply><ci>g</ci><ci>x</ci></apply></apply>
  </apply>
</apply>

Exemple

L'utilisation de l'élément fn est déconseillée : utilisez l'attribut type="function" à la place.

<apply><compose/>
  <ci type="function"> f </ci>
  <ci type="function"> g </ci>
  <sin/>
</apply>

C.2.2.11 MMLdefinition : `ident`

Description

L'élément ident représente l'application identique. MathML ne fait aucune hypothèse pour l'espace de fonctions dans lequel réside l'application identique. L'interprétation exacte du domaine de l'application identique (et donc de son ensemble d'arrivée) dépend du contexte où elle est utilisée.

Cf. également la section 4.4.2.11 L'application identique (ident).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

fonction

Propriété

ForAll(x, ident(x) = x )


<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><ident/><ci>x</ci></apply>
    <ci>x</ci>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply><eq/>
  <apply><compose/>
    <ci type="function"> f </ci>
    <apply><inverse/><ci type="function"> f </ci>
</apply>
  </apply>
  <ident/>
</apply>

C.2.2.12 MMLdefinition : `domain`

Description

L'élément domain indique le domaine d'une fonction donnée, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs pour lesquelles celle-ci est définie.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.12 Le domaine (domain).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function) -> set

Exemple

<apply><eq/>
  <apply><domain/><ci>f</ci></apply>
  <reals/>
</apply>

C.2.2.13 MMLdefinition : `codomain`

Description

L'élément codomain désigne l'ensemble d'arrivée d'une fonction donnée, c'est-à-dire l'ensemble contenant toutes les valeurs prises par la fonction. L'ensemble d'arrivée peut contenir d'autres points non obtenus par l'application de la fonction sur les éléments du domaine.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.13 L'ensemble d'arrivée (codomain).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function) -> set

Propriété

ForAll(y, y =f(x) , member(y,codomain(f)))

Exemple

<apply><eq/>
  <apply><codomain/><ci>f</ci></apply>
  <rationals/>
</apply>

C.2.2.14 MMLdefinition : `image`

Description

L'élément image indique l'image d'une fonction donnée, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs que celle-ci prend. Chaque point de l'image est généré par la fonction appliquée à un certain point du domaine.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.14 L'image (image).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function) -> set

Propriété

ForAll(x, x in codomain(f) , ThereExists(y,f(y)=x))

Exemple

<apply><eq/>
  <apply><image/><sin/></apply>
  <interval><cn>-1</cn><cn> 1</cn></interval>
</apply>

C.2.2.15 MMLdefinition : `domainofapplication`

Description

L'élément domainofapplication indique le domaine sur lequel une fonction donnée est appliquée. Il constitue une alternative plus générale à la définition de ce domaine en utilisant des éléments quantificateurs, tels que bvar, lowlimit ou condition.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.15 Le domaine d'application (domainofapplication).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function) -> set

Exemple

<apply><int/>
  <domainofapplication><ci>C</ci></domainofapplication>
  <ci>f </ci>
</apply>

C.2.2.16 MMLdefinition : `piecewise`

Description

Les éléments piecewise, piece et otherwise sont utilisés pour gérer les déclarations en morceaux (N.d.T. piecewise) de la forme H(x) = 0, si x est inférieur à 0, sinon H(x) = 1. Les éléments piece et otherwise décrivent des règles d'évaluation. Si aucune règle ne s'applique, ou si plusieurs règles s'appliquent mais donnant des réponses différentes, alors l'expression n'est pas définie.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.16 Les déclarations en morceaux (piecewise, piece, otherwise).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(piece*,otherwise) -> algebraic

Propriété

ForAll(x, x in domain(f) , les règles d'évaluation produisent collectivement une valeur au plus dans codomain(f))

Exemple

<piecewise>
  <piece><cn> 0</cn><apply><lt/><ci> x</ci> <cn> 0</cn></apply></piece>
  <otherwise><ci>x</ci></otherwise>
</piecewise>

Exemple

La valeur de la fonction abs évaluée sur x peut s'écrire :

<piecewise>
  <piece>
    <apply><minus/><ci>x</ci></apply>
    <apply><lt/><ci> x</ci><cn> 0</cn></apply>
  </piece>
  <piece>
    <cn>0</cn>
    <apply><eq/><ci>x</ci><cn>0</cn></apply>
  </piece>
  <piece>
    <ci>x</ci>
    <apply><gt/><ci>x</ci><cn>0</cn></apply>
  </piece>
</piecewise>

C.2.2.17 MMLdefinition : `piece`

Description

L'élément piece sert à construire les valeurs définies conditionnellement qui font partie d'un objet piecewise.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(algebraic,boolean) -> piece

Exemple

<piecewise>
  <piece><cn>0</cn><apply><lt/><ci> x</ci> <cn> 0</cn></apply></piece>
  <otherwise><ci>x</ci></otherwise>
</piecewise>

C.2.2.18 MMLdefinition : `otherwise`

Description

L'élément otherwise sert à décrire la valeur d'une structure piecewise quand aucune des conditions piece associées n'est satisfaite.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(algebraic) -> algebraic

Exemple

<piecewise>
  <piece><cn> 0</cn><apply><lt/><ci> x</ci> <cn> 0</cn></apply></piece>
  <otherwise><ci>x</ci></otherwise>
</piecewise>

C.2.3 L'arithmétique, l'algèbre et la logique

C.2.3.1 MMLdefinition : `quotient`

Description

La fonction quotient est la fonction binaire qui sert à représenter l'opération de division entière. L'expression quotient(a,b) indique q, tel que a = b * q + r, avec |r| inférieur à |b| et a * r positif.

Cf. également la section 4.4.3.1 Le quotient (quotient).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	integer

Signature

(integer, integer) -> integer

Propriété

forall([a,b], b != 0, a = b*quotient(a,b) + rem(a,b)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <bvar><ci>b</ci></bvar>
  <condition><apply><neq/><ci>b</ci><cn>0</cn></apply></condition>
  <apply><eq/>
    <ci>a</ci>
    <apply><plus/>
      <apply><times/>
          <ci>b</ci>
          <apply><quotient/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
      </apply>
      <apply><rem/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
    </apply>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply><quotient/>
  <ci> a </ci>
  <ci> b </ci>
</apply>

Exemple

<apply>
<quotient/>
<cn>5</cn>
<cn>4</cn>
</apply>

C.2.3.2 MMLdefinition : `factorial`

Description

C'est l'opérateur unaire qui sert à construire des factorielles. Les factorielles sont définies par n! = n * (n-1) * ... * 1.

Cf. également la section 4.4.3.2 Les factorielles (factorial).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	integer

Signature

( algebraic ) -> algebraic

(integer)->integer

Propriété

ForAll(n,n \gt 0, n! = n*(n-1)!)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>n</ci></bvar>
  <condition><apply><gt/><ci>n</ci><cn>0</cn></apply></condition>
  <apply><eq/>
    <apply><factorial/><ci>n</ci></apply>
    <apply><times/>
      <ci>n</ci>
      <apply><factorial/>
        <apply><minus/><ci>n</ci><cn>1</cn></apply>
      </apply>
    </apply>
  </apply>
</apply>

Propriété

0! = 1

<apply></eq>
  <apply><factorial/><cn>0</cn></apply>
  <cn>1</cn>
</apply>

Exemple

<apply><factorial/>
<ci>n</ci>
</apply>

C.2.3.3 MMLdefinition : `divide`

Description

C'est l'opérateur MathML binaire utilisé pour indiquer l'opération mathématique divisé par.

Cf. également la section 4.4.3.3 La division (divide).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

(complex, complex) -> complex

(real, real) -> real

(rational, rational) -> rational

(integer, integer) -> rational

Propriété

Erreur de division par zéro


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><divide/><ci> a </ci><ci> 0 </ci>
    <notanumber/>
  </apply>
  </apply>
</apply>

Propriété

ForAll( a , a!= 0, a/a = 1)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <condition><apply><neq/><ci>a</ci><cn>0</cn></apply></condition>
  <apply><eq/>
    <apply><divide/><ci>a</ci><ci>a</ci></apply>
    <cn>1</cn>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply><divide/>
<ci> a </ci>
<ci> b </ci>
</apply>

C.2.3.4 MMLdefinition : `max`

Description

C'est l'opérateur n-aire utilisé pour représenter le maximum dans un ensemble d'éléments. Les éléments peuvent être listés explicitement, ou bien décrits par une condition ; par exemple, le maximum de tous les x de l'ensemble A.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

( ordered_set_element * ) -> ordered_set_element

( bvar,condition,anything ) -> anything

Propriété

ForAll(x in S, max(y in S,y) \geq x )

Exemple

Le maximum d'une liste finie d'éléments.


<apply><max/><cn>2</cn><cn>3</cn><cn>5</cn></apply>

Exemple

Max(y^3, y in (0,1))


<apply>
<max/>
<bvar><ci>y</ci></bvar>
<condition>
<apply><in/><ci>y</ci><interval><cn>0</cn><cn>1</cn></interval></apply>
</condition>
<apply><power/><ci> y</ci><cn>3</cn></apply>
</apply>

C.2.3.5 MMLdefinition : `min`

Description

C'est l'opérateur n-aire utilisé pour représenter le minimum dans un ensemble d'éléments. Les éléments peuvent être listés explicitement, ou bien décrits par une condition ; par exemple, le minimum de tous les x dans l'ensemble A.

Les éléments doivent tous être comparables pour que le résultat soit bien défini.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

( ordered_set_element * ) -> ordered_set_element

( bvar,condition,anything ) -> ordered_set_element

Exemple

Le minimum d'une liste finie d'éléments.


<apply><min/><cn>2</cn><cn>3</cn><cn>5</cn></apply>

Exemple

min(y^2, y in (0,1))


<apply>
<min/>
<bvar><ci>y</ci></bvar>
<condition>
<apply><in/><ci>y</ci><interval><cn>0</cn><cn>1</cn></interval></apply>
</condition>
<apply><power/><ci> y</ci><cn>2</cn></apply>
</apply>

C.2.3.6 MMLdefinition : `minus`

Description

C'est l'opérateur de soustraction pour un groupe additif.

Si un argument est fourni, cet opérateur construit le symétrique additif de cet élément de groupe. Pour deux arguments a et b, il construit l'expression mathématique a - b.

Cf. également la section 4.4.3.5 La soustraction (minus).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

(real) -> real

(real,real) -> real

[type=MathMLtype](MathMLtype) -> MathMLtype

[type=MathMLtype](MathMLtype,MathMLtype) -> MathMLtype

(set,set) -> set

(multiset,multiset)->multiset

Propriété

ForAll(x,x-x=0)

<apply><forall/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><minus/><ci> x </ci><ci> x </ci></apply>
    <cn>0</cn>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply><minus/>
<cn>3</cn>
<cn>5</cn>
</apply>

Exemple

<apply><minus/>
<cn>3</cn>
</apply>

C.2.3.7 MMLdefinition : `plus`

Description

C'est l'opérateur d'addition n-aire d'une structure algébrique. Si aucun opérande n'est fourni, l'expression représente l'identique additif. Si un opérande a est fourni, l'expression est évaluée à "a". Si deux opérandes (ou plus) sont fournis, l'expression représente l'élément de (demi-)groupe correspondant au couplage binaire associatif à gauche des opérandes. La signification des types d'opérandes mixtes, non couverts par les signatures présentées ici, est laissée à l'initiative du système cible.

Pour des règles de transtypage différentes de celles indiquées par les signatures, utilisez l'attribut definitionURL afin d'identifier la nouvelle définition.

Cf. également la section 4.4.3.6 L'addition (plus).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

[type=MathMLtype](anything*) -> MathMLtype

(set*)->set

(multiset*)->multiset

(real*)->real

(complex*)->complex

(integer*)->integer

Propriété

Une somme sans terme est nulle.


<apply><eq/>
  <apply><plus/></apply>
  <cn>0</cn>
</apply>

Propriété

La somme d'un seul terme est égale à celui-ci.


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><plus/><ci>a</ci></apply>
    <cn>a</cn>
  </apply> 
</apply>

Propriété

commutative


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <bvar><ci>b</ci></bvar>
  <condition>
    <apply><and/>
      <apply><in/><ci>a</ci><reals/></apply>
      <apply><in/><ci>b</ci><reals/></apply>
    </apply>
  </condition>
  <apply><eq/>
    <apply><plus/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
    <apply><plus/><ci>b</ci><ci>a</ci></apply>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply><plus/>
  <cn>3</cn>
</apply>

Exemple

<apply><plus/>
<cn>3</cn>
<cn>5</cn>
</apply>

Exemple

<apply><plus/>
<cn>3</cn>
<cn>5</cn>
<cn>7</cn>
</apply>

C.2.3.8 MMLdefinition : `power`

Description

C'est l'opérateur d'élévation à une puissance qui sert à construire les expressions, telle que a (à la) puissance b. En particulier, c'est l'opération pour laquelle a (à la) puissance 2 équivaut à a * a.

Cf. également la section 4.4.3.7 L'exponentiation (power).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

(complex, complex) -> complex

(real, real) -> complex

(rational, integer) -> rational

(integer, integer) -> rational

[type=MathMLtype](anything,anything) -> MathMLtype

Propriété

ForAll(a,a!=0,a^0=1)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <condition><apply><neq/><ci>a</ci><cn>0</cn></apply></condition>
  <apply><eq/>
    <apply><power/><ci>a</ci><cn>0</cn></apply>
    <cn>1</cn>
  </apply>
</apply>

Propriété

ForAll(a,a^1=a)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><power/><ci>a</ci><cn>1</cn></apply>
    <ci>a</ci>
  </apply>
</apply>

Propriété

ForAll(a,1^a=1)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><power/><cn>1</cn><ci>a</ci></apply>
    <cn>1</cn>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply><power/><cn>2</cn><ci>x</ci></apply>

Exemple

<apply><power/><ci> x </ci><cn> 3 </cn></apply>

C.2.3.9 MMLdefinition : `rem`

Description

C'est l'opérateur binaire qui sert à représenter le reste entier de a mod b. Pour les arguments a et b, tels que a = b * q + r, avec |r| < |b|, il représente la valeur r.

Cf. également la section 4.4.3.8 Le reste (rem).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	integer

Signature

(integer, integer) -> integer

[type=MathMLtype](MathMLtype,MathMLtype)->MathMLtype

Propriété

L'expression rem(a, 0) n'est pas définie.

Propriété

ForAll([a,b],b!=0,a = b*quotient(a,b) + rem(a,b))


<apply><forall/>
<bvar><ci>a</ci></bvar>
<bvar><ci>b</ci></bvar>
<condition><apply><neq/><ci>b</ci><cn>0</cn></apply></condition>
<apply><eq/>
<ci>a</ci>
<apply><plus/>
<apply><times/>
<ci>b</ci>
<apply><quotient/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
</apply>
<apply><rem/>
 <ci>a</ci>
 <ci>b</ci>
</apply>
</apply>
<apply/>
</apply>

Exemple

<apply><rem/><ci> a </ci><ci> b </ci></apply>

C.2.3.10 MMLdefinition : `times`

Description

C'est l'opérateur de multiplication n-aire pour un anneau. Si aucun argument n'est fourni, alors cela représente l'identique de la multiplication. Si un argument est fourni, cela représente une expression qui serait évaluée à ce seul argument.

Cf. également la section 4.4.3.9 La multiplication (times).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

(complex*) -> complex

(real*) -> real

(rational*) -> rational

(integer*) -> integer

Propriété

ForAll([a,b],condition(in({a,b},Commutative)),a*b=b*a)

Propriété

ForAll([a,b,c],Associative,a*(b*c)=(a*b)*c), associativité

Propriété

L'identique de la multiplication.


<apply><forall/>
<bvar><ci>a</ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply><times/><cn>1</cn><ci>a</ci></apply>
<ci>a</ci>
</apply> 
</apply>

Propriété

a * 0 = 0

Propriété

Commutativité


<apply><forall/>
<bvar><ci>a</ci></bvar>
<bvar><ci>b</ci></bvar>
<condition>
<apply><and/>
<apply><in/><ci>a</ci><reals/></apply>
<apply><in/><ci>b</ci><reals/></apply>
</apply>
</condition>
<apply><eq/>
<apply><times/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
<apply><times/><ci>b</ci><ci>a</ci></apply>
</apply>
</apply>

Propriété

a * 0 = 0


<apply><forall/>
<bvar><ci>a</ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply><times/><cn>0</cn><ci>a</ci></apply>
<cn>0</cn>
</apply> 
</apply>

Exemple

<apply>
<times/>
<ci> a </ci>
<ci> b </ci>
</apply>

C.2.3.11 MMLdefinition : `root`

Description

C'est l'opérateur binaire qui sert à contruire la racine n^ème d'une expression. Le premier argument a représente l'expression et le second n indique la racine, comme dans ( a ) ^ (1/n)

Cf. également la section 4.4.3.10 Les racines (root).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	real \| complex \| principal_branch \| MathMLtype	real

Signature

( anything , anything) -> root

Propriété

ForAll(bvars(a,n),root(a,n) = a^(1/n))

Exemple

La racine n^ème de a


<apply><root/>
<ci> a </ci>
<ci> n </ci>
</apply>

C.2.3.12 MMLdefinition : `gcd`

Description

C'est l'opérateur n-aire qui sert à construire l'expression représentant le plus grand commun diviseur de ses arguments. Si aucun argument n'est fourni, le p.g.c.d. vaut 0. Si un argument est fourni, le p.g.c.d. est cet argument.

Cf. également la section 4.4.3.11 Le plus grand commun diviseur (gcd).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	integer

Signature

[type=MathMLtype](MathMLtype*) ->MathMLtype

(integer*) -> integer

Propriété

<apply><forall/>
<forall/>
<bvar><ci>x</ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply><gcd/>
<ci>x</ci>
<cn>1</cn>
</apply>
<cn>1</cn>
</apply>
</apply>

Exemple

<apply><gcd/>
<cn>12</cn>
<cn>17</cn>
</apply>

Exemple

<apply><gcd/>
<cn>3</cn>
<cn>5</cn>
<cn>7</cn>
</apply>

C.2.3.13 MMLdefinition : `and`

Description

C'est l'opérateur logique n-aire et. Il sert à construire l'expression logique qui, si elle était évaluée, aurait la valeur de vérité vrai si tous ses opérandes avaient la valeur de vérité vrai, et faux sinon.

Cf. également la section 4.4.3.12 Et (and).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	boolean

Signature

(boolean*) -> boolean

Propriété

forall(p,(true and p = p )

Propriété

forall([p,q],(p and q = q and p ))

Propriété

x and not(x) = false

Exemple

<apply><and/>
<ci>p</ci>
<ci>q</ci>
</apply>

C.2.3.14 MMLdefinition : `or`

Description

C'est l'opérateur logique n-aire ou. L'expression construite a la valeur de vérité vrai si au moins un de ses arguments est vrai.

Cf. également la section 4.4.3.13 Ou (or).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	boolean

Signature

(boolean*) -> boolean

[type="boolean"](symbolic*) -> boolean

Exemple

<apply>
<or/>
<ci> a </ci>
<ci> b </ci>
</apply>

C.2.3.15 MMLdefinition : `xor`

Description

C'est l'opérateur logique n-aire ou exclusif. L'expression construite a la valeur de vérité vrai si un nombre impair de ses arguments sont vrais.

Cf. également la section 4.4.3.14 Ou exclusif (xor).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	boolean

Signature

(boolean*) -> boolean

[type="boolean"](symbolic*) -> symbolic

Propriété

x xor x = false

Propriété

x xor not(x) = true

Exemple

<apply>
<xor/>
<ci> a </ci>
<ci> b </ci>
</apply>

C.2.3.16 MMLdefinition : `not`

Description

C'est l'opérateur logique unaire non. Il nie la valeur de vérité de son seul argument ; par exemple, non P est vrai lorsque P est faux, et faux lorsque P est vrai.

Cf. également la section 4.4.3.15 Non (not).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	boolean

Signature

(boolean) -> boolean

[type="boolean"](algebraic) -> boolean

Exemple

<apply>
<not/>
<ci> a </ci>
</apply>

C.2.3.17 MMLdefinition : `implies`

Description

C'est l'opérateur binaire implique. Il sert à construire l'expression logique A implique B.

Cf. également la section 4.4.3.16 Implique (implies).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	boolean

Signature

(boolean,boolean) -> boolean

Propriété

faux implique x

Exemple

<apply>
<implies/>
<ci> A </ci>
<ci> B </ci>
</apply>

C.2.3.18 MMLdefinition : `forall`

Description

L'opérateur forall est le quantificateur logique pour tous les. Les variables liées, le cas échéant, apparaissent en premier et sont balisées avec des éléments bvar. Suit, en option, une condition sur les variables liées. Le dernier argument est l'expression booléenne affirmée comme étant vraie pour toutes les valeurs des variables liées correspondant aux conditions indiquées (le cas échéant).

Cf. également la section 4.4.3.17 Le quantificateur universel (forall).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	boolean

Signature

(bvar*,condition?,apply) -> boolean

(bvar*,condition?,(reln)) -> boolean

Exemple

<apply>
<forall/>
<bvar><ci> x </ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply>
<minus/><ci> x </ci><ci> x </ci>
</apply>
<cn>0</cn>
</apply>
</apply>

C.2.3.19 MMLdefinition : `exists`

Description

C'est l'opérateur MathML qui sert à affirmer une existence, comme dans l'expression Il existe x tel que x soit réel et x soit positif.

- Le premier argument indique la variable liée,

- Le deuxième argument optionnel place des conditions sur cette variable liée,

- Le dernier argument est l'expression affirmée comme étant vraie.

Cf. également la section 4.4.3.18 Le quantificateur existentiel (exists).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	boolean

Signature

(element,set) ->boolean

Exemple

<apply><exists/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><ci>f</ci>
      <ci>x</ci>
    </apply>
    <cn>0</cn>
  </apply>
</apply>

C.2.3.20 MMLdefinition : `abs`

Description

Un opérateur unaire qui représente la valeur absolue de son argument. Dans le cas d'un nombre complexe, il est souvent désigné par le nom de module.

Cf. également la section 4.4.3.19 La valeur absolue (abs).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

(real)->real

(complex)->real

Propriété

for all x and y, abs(x) + abs(y) >= abs(x+y)

Exemple

<apply><abs/><ci>x</ci></apply>

C.2.3.21 MMLdefinition : `conjugate`

Description

L'opérateur arithmétique unaire conjugate sert à représenter la conjuguée complexe de son argument.

Cf. également la section 4.4.3.20 La conjugaison complexe (conjugate).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(algebraic) -> algebraic

(complex)->complex

Exemple

<apply><conjugate/>
  <apply><plus/>
    <ci> x </ci>
    <apply><times/>
      <imaginaryi/>
    <ci> y </ci>
    </apply>
  </apply>
</apply>

C.2.3.22 MMLdefinition : `arg`

Description

L'opérateur unaire arg sert à construire l'expression représentant l'argument d'un nombre complexe.

Cf. également la section 4.4.3.21 L'argument (arg).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

(complex)->real

Exemple

<apply><arg/>
  <apply><plus/>
    <ci> x </ci>
    <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
  </apply>
</apply>

C.2.3.23 MMLdefinition : `real`

Description

Un opérateur unaire qui sert à construire l'expression représentant la partie réelle d'un nombre complexe.

Cf. également la section 4.4.3.22 La partie réelle (real).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

(complex)->real

Propriété

ForAll(x,y, x in R, Y in R, real(x+i*y)=x)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <bvar><ci>y</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><real/>
      <apply><plus/>
        <ci> x </ci>
        <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
      </apply>
    </apply>
    <ci> x </ci>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply><real/>
  <apply><plus/>
    <ci> x </ci>
    <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
  </apply>
</apply>

C.2.3.24 MMLdefinition : `imaginary`

Description

Une fonction unaire qui sert à construire l'expression représentant la partie imaginaire d'un nombre complexe.

Cf. également la section 4.4.3.23 La partie imaginaire (imaginary).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

(complex)->real

Propriété

forall([x,y],Imaginary(x + i*y) = y )


<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <bvar><ci>y</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><imaginary/>
      <apply><plus/>
        <ci> x </ci>
        <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
      </apply>
    </apply>
    <ci> y </ci>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply><imaginary/>
  <apply><plus/>
    <ci> x </ci>
    <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
  </apply>
</apply>

C.2.3.25 MMLdefinition : `lcm`

Description

Cet opérateur n-aire sert à construire l'expression représentant le plus petit commun multiple de ses arguments. Si aucun argument n'est fourni, le p.p.c.m. vaut 1. Si un argument est fourni, le p.p.c.m. est cet argument. Le p.p.c.m. de x et 1 est x.

Cf. également la section 4.4.3.24 Le plus petit commun multiple (lcm).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	integer

Signature

[type=MathMLtype](MathMLtype*) ->MathMLtype

(integer*) -> integer

(algebraic*) -> algebraic

Propriété

ForAll(x,lcm(x,1)=x)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply><lcm/><ci>x</ci><cn>1</cn></apply>
<ci>x</ci>
</apply>
</apply>

Exemple

<apply><lcm/>
  <cn>12</cn>
  <cn>17</cn>
</apply>

Exemple

<apply><lcm/>
  <cn>3</cn>
  <cn>5</cn>
  <cn>7</cn>
</apply>

C.2.3.26 MMLdefinition : `floor`

Description

L'élément floor sert à indiquer l'opérateur d'arrondi inférieur (vers l'infini négatif).

Cf. également la section 4.4.3.25 L'arrondi inférieur (floor).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	integer

Signature

(real) -> integer

[type=MathMLtype](orderedset_element) -> orderedset_element

Propriété

ForAll(x,floor(x) <= x)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><leq/>
    <apply><floor/>
      <ci>x</ci>
    </apply>
    <ci>x</ci>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply> <floor/>
  <ci> a </ci>
</apply>

C.2.3.27 MMLdefinition : `ceiling`

Description

L'élément ceiling sert à indiquer l'opérateur d'arrondi supérieur (vers l'infini positif).

Cf. également la section 4.4.3.26 L'arrondi supérieur (ceiling).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	integer

Signature

(real) -> integer

[type=MathMLtype](orderedset_element) -> orderedset_element

Propriété

ForAll(x,ceiling(x) >= x)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><geq/>
    <apply><ceiling/>
      <ci>x</ci>
    </apply>
    <ci>x</ci>
  </apply>
</apply>

Exemple

<apply> <ceiling/>
  <ci> a </ci>
</apply>

C.2.4 Les relations

C.2.4.1 MMLdefinition : `eq`

Description

Cette fonction n-aire sert à indiquer que deux quantités (ou plus) sont égales. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.1 Égal à (eq).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(real,real+) -> boolean

(boolean, boolean+) -> boolean

(set,set+) -> set

(multiset,multiset+) -> multiset

Propriété

symétrique

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple

<apply><eq/><cn type="rational">2<sep/>4</cn><cn type="rational">1<sep/>2</cn></apply>

Exemple

<apply><eq/><ci type="set">A</ci><ci type="set">B</ci></apply>

Exemple

<apply><eq/><ci type="multiset">A</ci><ci type="multiset">B</ci></apply>

C.2.4.2 MMLdefinition : `neq`

Description

Cette fonction binaire représente la relation non égal à, qui renvoie vrai sauf si les deux arguments sont égaux.

Cf. également la section 4.4.4.2 Non égal à (neq).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(real,real) -> boolean

(boolean,boolean)-> boolean

(set,set) -> set

(multiset,multiset) -> multiset

Propriété

symétrique

Exemple

<apply><neq/><cn>3</cn><cn>4</cn></apply>

C.2.4.3 MMLdefinition : `gt`

Description

Cette fonction n-aire représente la relation supérieur à, qui renvoie vrai si chaque argument est, à son tour, supérieur à celui qui le suit. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.3 Supérieur à (gt).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

transitive

Exemple

<apply><gt/><cn>3</cn><cn>2</cn></apply>

C.2.4.4 MMLdefinition : `lt`

Description

Cette fonction n-aire représente la relation inférieur à, qui renvoie vrai si chaque argument est, à son tour, inférieur à celui qui le suit. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.4 Inférieur à (lt).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

transitive

Exemple

<apply><lt/><cn>2</cn><cn>3</cn><cn>4</cn></apply>

C.2.4.5 MMLdefinition : `geq`

Description

Cet élément représente la fonction n-aire supérieur ou égal à, qui renvoie vrai si chaque argument est, à son tour, supérieur ou égal à celui qui le suit. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.5 Supérieur ou égal à (geq).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple

<apply><geq/><cn>4</cn><cn>3</cn><cn>3</cn></apply>

C.2.4.6 MMLdefinition : `leq`

Description

Cette fonction n-aire représente la relation inférieur ou égal à, qui renvoie vrai si chaque argument est, à son tour, inférieur ou égal à celui qui le suit. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.6 Inférieur ou égal à (leq).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple

<apply><leq/><cn>3</cn><cn>3</cn><cn>4</cn></apply>

C.2.4.7 MMLdefinition : `equivalent`

Description

Cet élément représente la fonction n-aire d'équivalence logique, pour laquelle deux valeurs booléenne sont dites équivalentes si leurs valeurs de vérité sont égales pour tous les choix de valeurs des variables booléennes apparaissant dans celles-ci.

Cf. également la section 4.4.4.7 Équivalent à (equivalent).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(logical,logical+) -> boolean

Propriété

symétrique

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple

<apply><equivalent/>
  <ci>a</ci>
  <apply><not/>
    <apply<not/><ci>a</ci></apply>
  </apply>
<apply>

C.2.4.8 MMLdefinition : `approx`

Description

Cet élément sert à indiquer que deux quantités (ou plus) sont approximativement égales. Si une définition plus précise d'approximativement égal à est nécessaire, on devrait utiliser l'attribut definitionURL pour identifier la définition qui convient.

Cf. également la section 4.4.4.8 Approximativement égal à (approx).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLType	real

Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

symétrique

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple

<apply><approx/><pi/><cn type="rational">22<sep/>7</cn></apply>

C.2.4.9 MMLdefinition : `factorof`

Description

C'est l'opérateur binaire MathML qui sert à indiquer la relation mathématique a est facteur de b. Cette relation est vraie seulement si b mod a = 0.

Cf. également la section 4.4.4.9 Facteur de (factorof).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	MathMLtype	integer

Signature

(integer, integer) -> boolean

Propriété

ForAll( a,b a et b entiers, a divise b s'il y a un entier c tel que a*c = b)

Exemple

<apply><factorof/>
  <ci> a </ci>
  <ci> b </ci>
</apply>

C.2.5 Le calcul et le calcul vectoriel

C.2.5.1 MMLdefinition : `int`

Description

L'intégrale définie ou indéfinie d'une fonction ou d'une expression algébrique. Il existe plusieurs formes de séquences d'appel, selon la nature des arguments et qu'il s'agisse ou non d'une intégrale définie.

Cf. également la section 4.4.5.1 L'intégration (int).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function) -> function

(bvar,algebraic) -> algebraic

(bvar,interval,algebraic) -> algebraic

(bvar,condition,algebraic) -> algebraic

(bvar,lowlimit,uplimit,algebraic) -> algebraic

Exemple

<apply><int/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <lowlimit><cn> 0 </cn></lowlimit>
  <uplimit><ci> a </ci></uplimit>
  <apply><ci> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>

Exemple

<apply><int/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <interval><ci> a </ci><ci> b </ci></interval>
  <apply><cos/><ci> x </ci></apply>
</apply>

Exemple

<apply><int/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <condition>
    <apply><in/><ci> x </ci><ci type="set"> D </ci></apply>
  </condition>
  <apply><ci type="function"> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>

C.2.5.2 MMLdefinition : `diff`

Description

Cet élément apparaît sous deux formes : l'une pour les fonctions et l'autre pour les expressions impliquant une variable liée.

Pour les expressions dans la variable liée x, l'expression à différencier suit la variable liée.

S'il n'y a qu'un seul argument (une fonction), l'application de diff sur celui-ci résulte en une nouvelle fonction, la dérivée de f, souvent notée f'.

Cf. également la section 4.4.5.2 La différenciation (diff).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	function \| algebraic	algebraic

Signature

(bvar,algebraic) -> algebraic

(function) -> function

Propriété

ForAll([x,n],n!=0,diff( x^n , x ) = n*x^(n-1))

Exemple

diff( sin(x) , x ) = cos(x)


<apply><eq/>
  <apply><diff/>
    <bvar><ci>x</ci></bvar>
    <apply><sin/><ci>x</ci></apply>
  </apply>
  <apply><cos/><ci>x</ci></apply>
</apply>

Exemple

diff(x^2,x)


<apply><diff/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><power/><ci>x</ci><cn>2</cn></apply>
</apply>

Exemple

diff(f(x),x)


<apply><diff/><bvar><ci> x </ci></bvar>
<apply><ci type="function"> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>

Exemple

diff(sin) = cos


<apply><eq/><apply><diff/><sin/></apply><cos/></apply>

C.2.5.3 MMLdefinition : `partialdiff`

Description

Cet élément sert à exprimer une différenciation partielle. Il apparaît sous deux formes : l'une correspondant à la différenciation d'expressions algébriques (souvent affichée en employant la notation de Leibnitz) et l'autre pour exprimer les dérivées partielles de fonctions effectives (souvent exprimées selon $D_{1,2} f $)

Pour la première forme, les arguments sont les variables liées, suivies par l'expression algébrique. Le résultat est une expression algébrique. Les répétitions des variables liées sont indiquées par des éléments degree. Le degré total est indiqué par un élément degree au niveau supérieur.

Pour la seconde forme, il y a deux arguments : une liste d'indices, indiquant par leur position quelles coordonnées sont impliquées dans la construction des dérivées partielles, et la fonction en question. Les coordonnées peuvent être répétées.

Cf. également la section 4.4.5.3 La différenciation partielle (partialdiff).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML
type	function \| algebraic	algebraic

Signature

(degree?,bvar+,algebraic) -> algebraic

(vector,function) -> function

Propriété

ForAll(x,y,diff( x*y , x ) = diff(x,x)*y + diff(y,x)*x )

Propriété

ForAll(x,a,b,diff( a + b , x ) = diff(a,x) + diff(b,x) )

Propriété

diff(sin) = cos

Exemple

d^k/(dx^m dy^n) f(x,y)


<apply><partialdiff/>
<degree><ci>k</ci></degree>
<bvar><ci> x </ci><degree><ci> m </ci></degree></bvar>
<bvar><ci> y </ci><degree><ci> n </ci></degree></bvar>
<apply><ci type="function"> f </ci>
<ci> x </ci>
<ci> y </ci>
</apply>
</apply>

Exemple

d^2/(dx dy) f(x,y)


<apply><partialdiff/>
<bvar><ci> x </ci></degree></bvar>
<bvar><ci> y </ci></degree></bvar>
<apply><ci type="function"> f </ci>
<ci> x </ci>
<ci> y </ci>
</apply>
</apply>

Exemple

D_{1,1,3}(f)


<apply><partialdiff/>
<list><cn>1</cn><cn>1</cn><cn>3</cn></list>
<ci type="function">f</ci>
</apply>

C.2.5.4 MMLdefinition : `lowlimit`

Description

Cet élément construit une limite inférieure. On utilise des limites supérieures et inférieures dans certaines intégrales comme autre moyen de décrire l'intervalle.

Cf. également la section 4.4.5.4 La limite inférieure (lowlimit).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(algebraic+) -> lowlimit

Exemple

cf. int

C.2.5.5 MMLdefinition : `uplimit`

Description

Cet élément construit une limite supérieure. On utilise des limites supérieures et inférieures dans certaines intégrales comme autre moyen de décrire l'intervalle.

Cf. également la section 4.4.5.5 La limite supérieure (uplimit).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(algebraic+) -> uplimit

Exemple

cf. int

C.2.5.6 MMLdefinition : `bvar`

Description

L'élément bvar est l'élément conteneur de la variable liée d'une opération. Par exemple, dans une intégrale, il indique la variable d'intégration. Dans une dérivée, il indique la variable par rapport à laquelle la fonction est différenciée. Lorsque l'élément bvar est utilisé pour quantifier une dérivée, il peut contenir un sous-élément degree indiquant l'ordre de la dérivée par rapport à cette variable. L'élément bvar sert aussi pour la variable interne dans les sommes et les produits.

Cf. également la section 4.4.5.6 Les variables liées (bvar).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(symbol,degree?) -> bvar

Exemple

<apply><forall/><bvar><ci>x</ci></bvar>
<condition><apply><in/><ci>x</ci><reals/></apply></condition>
<apply><eq/><apply><minus/><ci>x</ci><ci>x</ci></apply><cn>0</cn></apply>
</apply>

Exemple

<apply><diff/>
<bvar><ci>x</ci><degree><cn>2</cn></degree></bvar>
<apply><power/><ci>x</ci><cn>5</cn></apply>
</apply>

C.2.5.7 MMLdefinition : `degree`

Description

Un paramètre utilisé par certains types de données MathML pour indiquer qu'une variable liée est, par exemple, répétée plusieurs fois.

Cf. également la section 4.4.5.7 Le degré (degree).

Classification

constructeur

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(anything) -> degree

Exemple

<apply><diff/>
<bvar><ci>x</ci><degree><cn>2</cn></degree></bvar>
<apply><power/><ci>x</ci><cn>5</cn></apply>
</apply>

C.2.5.8 MMLdefinition : `divergence`

Description

Cet élément sert à représenter la fonction de divergence.

Soit un argument qui est un vecteur de fonctions à valeurs scalaires défini sur les coordonnées x_1, x_2, ..., x_n. Il renvoie une fonction de valeur scalaire. Cette fonction satisfait la relation de définition suivante :

divergence(F) = \partial(F_(x_1))/\partial(x_1) + ... + \partial(F_(x_n))/\partial(x_n)

Les fonctions définissant les coordonnées peuvent l'être implicitement comme des expressions définies selon les noms des coordonnées, auquel cas les noms des coordonnées doivent être fournis comme variables liées.

Cf. également la section 4.4.5.8 La divergence (divergence).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(vector(function)) -> function

(bvar+,vector(algebraic)) -> algebraic

Exemple

<apply><divergence/><ci type="vector"> E</ci></apply>

Exemple

<declare><ci>F</ci><vector><ci>f1</ci><ci>f2</ci><ci>f3</ci></vector></declare>
<apply><divergence/><ci>F</ci></apply>

Exemple

<apply><divergence/>
<bvar><ci>x</ci></bvar><bvar><ci>y</ci></bvar><bvar><ci>z</ci></bvar>
<vector>
<apply><plus/><ci>x</ci><ci>y</ci></apply>
<apply><plus/><ci>x</ci><ci>z</ci></apply>
<apply><plus/><ci>z</ci><ci>y</ci></apply>
</vector>
</apply>

Exemple

Si a est un champs vectoriel défini dans une surface fermée S englobant un volume V, alors la divergence de a est donnée par :


<apply>
  <eq/>
  <apply><divergence/><ci type="vectorfield">a</ci></apply>
  </apply>
  <apply>
    <limit/>
    <bvar>
      <ci> V </ci>
    </bvar>
    <condition>
      <apply>
        <tendsto/>
        <ci> V </ci>
        <cn> 0 </cn>
      </apply>
    </condition>
    <apply>
      <divide/>
      <apply><int encoding="text" definitionURL="SurfaceIntegrals.htm"/>
        <bvar>
          <ci> S</ci>
        </bvar>
      <ci> a </ci>
      </apply>
      <ci> V </ci>
    </apply>
  </apply>
</apply>

C.2.5.9 MMLdefinition : `grad`

Description

L'élément gradient est l'opérateur de gradient du calcul vectoriel, souvent appelé grad. Il représente l'opération construisant un vecteur de dérivées partielles vector( df/dx_1, df/dx_2, ..., df/dx_n ).

Cf. également la section 4.4.5.9 Le gradient (grad).

Classification

fonction

MMLattribute

Nom	Valeur	Valeur par défaut
definitionURL	une adresse URI identifiant la définition	APPENDIX_C
encoding	CDATA	MathML

Signature

(function) -> vector(function)

(bvar+,algebraic) -> vector(algebraic)

Exemple

<apply><grad/><ci type="function"> f</ci></apply>

Exemple

<apply><grad/>
<bvar><ci>x</ci></bvar><bvar><ci>y</ci></bvar><bvar><ci>z</ci></bvar>
<apply><times/><ci>x</ci><ci>y</ci><ci>z</ci></apply></apply>
</apply>

C.2.5.10 MMLdefinition : `curl`

Description

Cet élément sert à représenter l'opérateur de rotation. Il nécessite à la fois des coordonnées et un vecteur d'expressions définies sur ces coordonnées. Il renvoie une expression à valeur vectorielle.

Dans sa forme fonctionnelle, les coordonnées sont implicites dans la définition de la fonction, de sorte qu'il n'a besoin que d'un seul argument, qui est une fonction à valeur vectorielle, et il renvoie un vecteur de fonctions.

Soit F = F(x,y,z) = ( f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) ) et les noms de coordonnées (x,y,z), la relation suivante doit être vérifiée :

curl(F) = i X \partial(F)/\partial(x) + j X \partial(F)/\partial(y) + j X \partial(F)/\partial(Z), où i,j,k sont respectivement les vecteurs unitaires correspondant des axes x,y,z et X est la

C Les définitions des éléments de contenu

C.1 À propos des éléments du balisage de contenu

C.1.1 Les définitions par défaut

C.1.2 La structure d'une définition MMLdefinition

C.2 Les définitions des éléments de contenu MathML

C.2.1 Les éléments atomiques

C.2.1.1 MMLdefinition : cn

C.2.1.2 MMLdefinition : ci

C.2.1.3 MMLdefinition : csymbol

C.2.2 Les éléments de contenu de base

C.2.2.1 MMLdefinition : apply

C.2.2.2 MMLdefinition : reln

C.2.2.3 MMLdefinition : fn

C.2.2.4 MMLdefinition : interval

C.2.2.5 MMLdefinition : inverse

C.2.2.6 MMLdefinition : sep

C.2.2.7 MMLdefinition : condition

C.2.2.8 MMLdefinition : declare

C.2.2.9 MMLdefinition : lambda

C.2.2.10 MMLdefinition : compose

C.2.2.11 MMLdefinition : ident

C.2.2.12 MMLdefinition : domain

C.2.2.13 MMLdefinition : codomain

C.2.2.14 MMLdefinition : image

C.2.2.15 MMLdefinition : domainofapplication

C.2.2.16 MMLdefinition : piecewise

C.2.2.17 MMLdefinition : piece

C.2.2.18 MMLdefinition : otherwise

C.2.3 L'arithmétique, l'algèbre et la logique

C.2.3.1 MMLdefinition : quotient

C.2.3.2 MMLdefinition : factorial

C.2.3.3 MMLdefinition : divide

C.2.3.4 MMLdefinition : max

C.2.3.5 MMLdefinition : min

C.2.3.6 MMLdefinition : minus

C.2.3.7 MMLdefinition : plus

C.2.3.8 MMLdefinition : power

C.2.3.9 MMLdefinition : rem

C.2.3.10 MMLdefinition : times

C.2.3.11 MMLdefinition : root

C.2.3.12 MMLdefinition : gcd

C.2.3.13 MMLdefinition : and

C.2.3.14 MMLdefinition : or

C.2.3.15 MMLdefinition : xor

C.2.3.16 MMLdefinition : not

C.2.3.17 MMLdefinition : implies

C.2.3.18 MMLdefinition : forall

C.2.3.19 MMLdefinition : exists

C.2.3.20 MMLdefinition : abs

C.2.3.21 MMLdefinition : conjugate

C.2.3.22 MMLdefinition : arg

C.2.3.23 MMLdefinition : real

C.2.3.24 MMLdefinition : imaginary

C.2.3.25 MMLdefinition : lcm

C.2.3.26 MMLdefinition : floor

C.2.3.27 MMLdefinition : ceiling

C.2.4 Les relations

C.2.4.1 MMLdefinition : eq

C.2.4.2 MMLdefinition : neq

C.2.4.3 MMLdefinition : gt

C.2.4.4 MMLdefinition : lt

C.2.4.5 MMLdefinition : geq

C.2.4.6 MMLdefinition : leq

C.2.4.7 MMLdefinition : equivalent

C.2.4.8 MMLdefinition : approx

C.2.4.9 MMLdefinition : factorof

C.2.5 Le calcul et le calcul vectoriel

C.2.5.1 MMLdefinition : int

C.2.5.2 MMLdefinition : diff

C.2.5.3 MMLdefinition : partialdiff

C.2.5.4 MMLdefinition : lowlimit

C.2.5.5 MMLdefinition : uplimit

C.2.5.6 MMLdefinition : bvar

C.2.5.7 MMLdefinition : degree

C.2.5.8 MMLdefinition : divergence

C.2.5.9 MMLdefinition : grad

C.2.5.10 MMLdefinition : curl

C.1.2 La structure d'une définition `MMLdefinition`

C.2.1.1 MMLdefinition : `cn`

C.2.1.2 MMLdefinition : `ci`

C.2.1.3 MMLdefinition : `csymbol`

C.2.2.1 MMLdefinition : `apply`

C.2.2.2 MMLdefinition : `reln`

C.2.2.3 MMLdefinition : `fn`

C.2.2.4 MMLdefinition : `interval`

C.2.2.5 MMLdefinition : `inverse`

C.2.2.6 MMLdefinition : `sep`

C.2.2.7 MMLdefinition : `condition`

C.2.2.8 MMLdefinition : `declare`

C.2.2.9 MMLdefinition : `lambda`

C.2.2.10 MMLdefinition : `compose`

C.2.2.11 MMLdefinition : `ident`

C.2.2.12 MMLdefinition : `domain`

C.2.2.13 MMLdefinition : `codomain`

C.2.2.14 MMLdefinition : `image`

C.2.2.15 MMLdefinition : `domainofapplication`

C.2.2.16 MMLdefinition : `piecewise`

C.2.2.17 MMLdefinition : `piece`

C.2.2.18 MMLdefinition : `otherwise`

C.2.3.1 MMLdefinition : `quotient`

C.2.3.2 MMLdefinition : `factorial`

C.2.3.3 MMLdefinition : `divide`

C.2.3.4 MMLdefinition : `max`

C.2.3.5 MMLdefinition : `min`

C.2.3.6 MMLdefinition : `minus`

C.2.3.7 MMLdefinition : `plus`

C.2.3.8 MMLdefinition : `power`

C.2.3.9 MMLdefinition : `rem`

C.2.3.10 MMLdefinition : `times`

C.2.3.11 MMLdefinition : `root`

C.2.3.12 MMLdefinition : `gcd`

C.2.3.13 MMLdefinition : `and`

C.2.3.14 MMLdefinition : `or`

C.2.3.15 MMLdefinition : `xor`

C.2.3.16 MMLdefinition : `not`

C.2.3.17 MMLdefinition : `implies`

C.2.3.18 MMLdefinition : `forall`

C.2.3.19 MMLdefinition : `exists`

C.2.3.20 MMLdefinition : `abs`

C.2.3.21 MMLdefinition : `conjugate`

C.2.3.22 MMLdefinition : `arg`

C.2.3.23 MMLdefinition : `real`

C.2.3.24 MMLdefinition : `imaginary`

C.2.3.25 MMLdefinition : `lcm`

C.2.3.26 MMLdefinition : `floor`

C.2.3.27 MMLdefinition : `ceiling`

C.2.4.1 MMLdefinition : `eq`

C.2.4.2 MMLdefinition : `neq`

C.2.4.3 MMLdefinition : `gt`

C.2.4.4 MMLdefinition : `lt`

C.2.4.5 MMLdefinition : `geq`

C.2.4.6 MMLdefinition : `leq`

C.2.4.7 MMLdefinition : `equivalent`

C.2.4.8 MMLdefinition : `approx`

C.2.4.9 MMLdefinition : `factorof`

C.2.5.1 MMLdefinition : `int`

C.2.5.2 MMLdefinition : `diff`

C.2.5.3 MMLdefinition : `partialdiff`

C.2.5.4 MMLdefinition : `lowlimit`

C.2.5.5 MMLdefinition : `uplimit`

C.2.5.6 MMLdefinition : `bvar`

C.2.5.7 MMLdefinition : `degree`

C.2.5.8 MMLdefinition : `divergence`

C.2.5.9 MMLdefinition : `grad`

C.2.5.10 MMLdefinition : `curl`