Lisez-moi S.V.P. 

C Les définitions des éléments de contenu

Table des matières : Le langage de balisage mathématique (MathML) version 2.0
Chapitre précédent : B La grammaire de validation du balisage de contenu
Chapitre suivant : D Le modèle objet de document de MathML

C.1 À propos des éléments du balisage de contenu

Le rôle principal des éléments de contenu MathML consiste à fournir un mécanisme pour rendre compte de la signification mathématique particulière d'une structure de notation particulière. Pour cela, une définition mathématique doit être associée à chaque élément de contenu d'une manière ou d'une autre. Le but de cette annexe est de fournir des définitions par défaut. (On donne un index de ces définitions plus loin dans ce document). Les auteurs peuvent adapter la notation selon leurs besoins particuliers propres en utilisant les mécanismes fournis pour remplacer les définitions par défaut de ces éléments de contenu sélectionnés.

Les définitions mathématiques suivantes ne se restreignent pas à un seul format. Plusieurs justifications à cela, presque toutes découlant de l'importance extrême de permettre aux auteurs de réutiliser les définitions existantes issues de la littérature mathématique :

  1. Il n'existe pas de notation convenable d'utilisation courante. Par exemple, même les bibliothèques mathématiques des systèmes de calcul mathématique les plus complètes utilisées aujourd'hui ne saisissent qu'une petite fraction de la littérature mathématique, en outre une grande partie des mathématiques ne concerne pas le calcul ;
  2. Dans la plupart des cas, la traduction d'une définition mathématique dans une nouvelle notation représente un gaspillage d'énergie et de temps pour l'auteur ;
  3. La tâche de concevoir un nouveau langage, lisible par une machine, qui convient pour enregistrer des descriptions sémantiques, dépasse largement le cadre de cette recommandation particulière. Elle empièterait aussi considérablement sur les efforts d'autres groupes, tel que le Consortium OpenMath (cf. également le North American OpenMath Initiative et l'European OpenMath Consortium).

Les questions cruciales pour des besoins d'archivage et de calcul sont celles concernant l'existence d'une définition et partant que l'auteur puisse disposer d'un mécanisme permettant d'indiquer que telle définition est prévue pour telle instance d'une structure de notation. Cette condition est importante, qu'une mise en œuvre d'un concept ou d'un objet particuliers existent ou non dans un système de calcul mathématique. La définition peut, par exemple, se réduire à une affirmation aussi vague que F est une fonction inconnue mais dérivable de l'ensemble des réels vers l'ensemble des réels, ou se compliquer jusqu'à imposer que F soit une fonction élaborée, ou une opération, telle que définie dans un journal scientifique particulier. Il importe que le lecteur dispose toujours d'un moyen permettant de déterminer comment la notation est employée.

C.1.1 Les définitions par défaut

La décision de l'auteur d'utiliser des éléments de contenu revient à se servir d'objets définis. Des définitions par défaut sont offertes pour faciliter cette décision. Ainsi, l'auteur n'a besoin de fournir des définitions explicites que si l'utilisation diffère de celle définie par défaut. Lorsque c'est possible, les définitions ont naturellement été choisies pour refléter l'utilisation courante.

Les définitions d'une instance particulière se remplacent en utilisant l'attribut definitionURL. La valeur de cet attribut est une adresse URI (contrairement à sa dénomination ancienne) dont le format n'est en outre pas défini. La valeur de definitionURL peut même être un nom inventé par l'auteur. Auquel cas, elle prévient le lecteur (et les systèmes de calcul) de l'utilisation par l'auteur d'une définition locale privée. Cela peut être l'adresse URL d'une publication mathématique ou une référence dans une source traditionnelle où la structure est définie. Si l'opérateur mathématique de l'auteur correspond exactement à l'opérateur d'un système de calcul particulier, un élément MathML semantics pourrait constituer une définition appropriée permettant d'établir une correspondance entre deux codages. Quel que soit le format choisi, la seule condition est d'indiquer un certain type de définition.

Le reste de cette annexe fournit les descriptions détaillées des sémantiques associées à chacun des éléments de contenu MathML. Dans la mesure où c'est exactement le rôle attendu des codages en cours de développement par le Consortium OpenMath et que l'un de nos objectifs est de stimuler la coopération dans ces efforts de standardisation, nous avons présenté les définitions par défaut dans un format modelé sur les dictionnaires de contenu OpenMath. Bien que les choses diffèrent en réalité quelque peu de la spécification OpenMath, les principes sous-jacents sont les mêmes.

Beaucoup de définitions fournies ici se rapportent à une ou plusieurs entrées des standards mathématiques de référence que sont le Abramowitz et Stegun [Abramowitz1997] et le Standard Mathematical Tables and Formulae [Zwillinger1988].

C.1.2 La structure d'une définition MMLdefinition

Dans la source XML de cette annexe, chaque élément MathML est décrit à l'aide d'un vocabulaire XML conçu pour cet usage. Par contre, quoique bien adaptée à un traitement mécanique, la forme XML des définitions est difficile à lire par un humain. Le texte à suivre est donc composé automatiquement, d'après des transformations XSL de la source XML (et par composition en ce qui concerne les versions PDF de la spécification MathML), mais formaté pour qu'il soit plus facile à lire et à comprendre. Les conventions employées seront expliquées juste après au fur et à mesure des éléments de balisage de la source XML. La première définition en exemple, mais uniquement celle-ci, sera donnée dans la forme la plus lisible et dans la forme XML brute, afin d'apprécier la différence.

L'élément de premier niveau est MMLdefinition. Les sous-éléments identifient les diverses parties de la description et comprennent :

nom
Une valeur de type PCDATA fournissant le nom de l'élément MathML.
description
Une description de type CDATA de l'objet représenté par l'élément. Elle fera souvent référence à des textes ou articles plus traditionnels, ou à des articles existants sur le Web.
classification
Chaque élément MathML doit être classé conformément à son rôle mathématique :
ponctuation
Certains éléments existent simplement pour aider l'analyse. Par exemple, on utilise l'élément sep pour séparer les valeurs CDATA définissant un nombre rationnel en deux parties afin d'en faciliter l'analyse par une application XML. On désigne ces objets par le terme générique ponctuation.
descripteur
Certains éléments existent simplement pour modifier les propriétés d'un élément ou d'un objet mathématique existants. Par exemple, la structure declare sert à réinitialiser les valeurs par défaut des attributs, ou à associer un nom à l'instance spécifique d'un objet. On désigne ces types d'éléments par le terme générique descripteurs, et le type de l'objet résultant est le même que celui de l'élément à modifier mais avec les nouvelles valeurs d'attributs.
fonction (opérateur)
Les fonctions et opérateurs mathématiques traditionnels sont représentés dans MathML par des éléments XML vides, tels que plus et sin. Ces définitions de fonction sont paramétrées par les valeurs de leurs attributs XML (par exemple, elles peuvent être du type vecteur), et on les utilise telles quelles, par exemple, pour l'explication des propriétés d'une fonction ou d'un opérateur particuliers, ou bien on les applique à des arguments à l'aide d'un élément apply. Dans ce dernier cas, on dit qu'il s'agit d'une application de fonction. Les fonctions sont souvent classées selon leur utilisation. Par exemple, l'élément plus est un opérateur n-aire. Cette donnée supplémentaire est saisie par la signature. La signature d'une fonction (cf. ci-dessous) décrit comment utiliser une fonction mathématique au sein d'un élément apply. Chaque combinaison des types d'arguments de fonction utilisés dans un élément apply établit un élément apply d'un type donné.
constante
Les constantes mathématiques sont généralement représentés par des éléments vides et se distinguent des fonctions par le fait qu'elles ne sont pas employées comme premier argument d'un élément apply. Leur signature est simplement le type des objets qu'elles représentent.
constructeur
Les objets restants qui contiennent des sous-éléments sont tous des constructeurs d'objets d'un type ou d'un autre. Ils combinent les sous-éléments en un seul objet mathématique composé, tels qu'une constante, un ensemble ou une application de fonction. Par exemple, l'élément lambda construit une définition de fonction d'après une liste de variables et une expression, tandis que l'élément apply construit une application de fonction. Par application de fonction, on entend le résultat de l'application du premier élément de apply (la fonction) sur zéro à plusieurs éléments restants (les arguments). Une application de fonction représente un objet dans l'ensemble d'arrivée de la fonction. Pour chaque combinaison donnée de types et d'ordres des sous-éléments XML, la signature d'un constructeur indique le type (et parfois le sous-type) de l'objet résultant.
MMLattribute
Certains des attributs XML d'un élément de contenu MathML peuvent influer directement sur la signification mathématique de l'objet. Par exemple, l'attribut type de l'élément cn sert à déterminer quel type de constante (entier, réel, etc.) est construit. Seuls les attributs affectant les propriétés mathématiques d'un objet sont listés ici et, habituellement, ils apparaissent aussi explicitement dans la signature.
signature
La signature est une représentation systématique associant les types des différentes combinaisons possibles d'attributs et d'arguments de fonction au type de l'objet mathématique à construire. Les combinaisons possibles des types de paramètres et d'arguments (le côté gauche) résultent chacune en un objet d'un certain type (le côté droit). En fait, la signature décrit comment résoudre la surcharge des opérateurs. Pour les constructeurs, le côté gauche de la signature décrit les types des sous-éléments et le côté droit indique le type de l'objet construit. Pour les fonctions, le côté gauche de la signature indique les types de paramètres et d'arguments à attendre quand une fonction s'applique, ou sert à construire une relation, et le côté droit représente le type mathématique de l'objet construit par l'élément apply. Les modificateurs altèrent les attributs d'un objet existant. Par exemple, un symbole peut devenir un symbole de type vecteur. La signature doit être capable d'enregistrer des valeurs d'attributs et des types d'arguments spécifiques sur la gauche, et des types paramétrés sur la droite. La syntaxe utilisée pour les signatures est de la forme générale suivante :
[<nom d'attribut>=<valeur-attribut>]( <liste de types d'arguments> )
--> <type du résultat mathématique>(<sous-type mathématique>)
Le cas échéant, les définitions MMLattribute apparaissent sous la forme <nom>=<valeur>. Elles sont séparées du reste des arguments dans la notation par des crochets. Habituellement, les valeurs possibles proviennent d'une liste énumérée et la signature est affectée par la sélection d'une valeur spécifique. Pour les arguments de fonctions et les paramètres nommés réels à gauche, l'accent est mis sur les types mathématiques impliqués. Les types d'arguments des fonctions sont présentés dans une syntaxe similaire à celle employée pour une définition DTD, à l'exception notable suivante. Les types des paramètres nommés apparaissent dans la signature sous la forme <nom-de-l'élément>=<type>, analogue à la syntaxe employée pour les valeurs d'attributs. Par exemple, si l'argument est nommé (par exemple, bvar), alors il est représenté dans la signature par une équation comme dans :
[<nom d'attribut>=<valeur-attribut>]( bvar=symbol,<liste d'arguments> ) -->
<type du résultat mathématique>(<sous-type mathématique>)
Il n'y a aucun système de typage formel dans MathML. Les valeurs de types utilisées dans les signatures sont les types mathématiques courants, tels que entier, rationnel, réel, complexe (comme dans la description de l'élément cn), ou un nom, tels qu'une chaîne ou le nom d'un contructeur MathML. De temps en temps, des collections de types diverses, telles que anything, matrixtype, sont utilisées. Le nom de type mmlpresentation sert à représenter n'importe quel objet de présentation MathML valide, et le nom MathMLtype sert à décrire la collection de tous les types MathML. Le type algebraic sert pour les expressions construites d'après un ou plusieurs symboles au travers d'opérations arithmétiques, et le type interval-type désigne les types d'intervalles valides, comme définis au chapitre 4. La collection de types n'est pas fermée. Les utilisateurs écrivant leurs propres définitions de nouvelles structures peuvent introduire des types nouveaux. Plusieurs signatures peuvent s'appliquer selon les types impliqués. Par exemple, beaucoup d'opérations arithmétiques impliquant des entiers correspondent aux entiers mais, puisque les entiers sont des nombre réels, la signature des nombres réels est également valide. En général, la signature offrant le plus d'informations est celle convenant le mieux. Aucune évaluation mathématique n'intervient jamais dans MathML. Chaque élément de contenu MathML désigne un objet défini, telle qu'une fonction mathématique, ou bien combine ces objets d'une façon ou d'une autre pour en construire un nouveau. Pour les besoins de signature, l'objet construit représente un objet d'un certain type paramétré. Par exemple, le résultat de l'application de l'élément plus à des arguments est une expression représentant une somme. Le type de l'expression résultante dépend des types des opérandes et des valeurs d'attributs MathML.
exemple
Des exemples d'utilisation de cet objet dans MathML sont compris dans ces éléments.
propriété
Cet élément décrit les propriétés mathématiques de tels objets. Pour les associations de valeurs simples à des instances spécifiques d'un objet, le premier sous-élément est une instance de l'objet à définir. Le second est un élément value, ou approx (approximation), contenant une description MathML de cette valeur particulière. On exprime des conditions plus élaborées sur l'objet en utilisant la syntaxe MathML.
commentaire
Ces éléments ne contiennent que des valeurs de type PCDATA et ils peuvent apparaître comme sous-éléments de la définition MMLdefinition en n'importe quel point.

C.2 Les définitions des éléments de contenu MathML

C.2.1 Les éléments atomiques

C.2.1.1 MMLdefinition : cn

Description

L'élément cn sert à coder des constantes numériques. Le type mathématique du nombre est donné par un attribut. Le type par défaut est "real". La définition complète des nombres en virgule flottante en notation scientifique, des rationnels et des complexes nécessite deux parties. Ces parties sont séparées par un élément sep vide.

Beaucoup de constantes numériques courantes, tel que &pi;, ont leur propre élément.

Cf. également la section 4.4.1.1 Les nombres (cn).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type integer | rational | complex-cartesian | complex-polar | real | floating-point e-notation | MathMLtype real
base entier entre 2 et 36 10
Signature

[type=integer](numstring) -> constant(integer)

[base=base-value](numstring) -> constant(integer)

[type=rational](numstring,numstring) -> constant(rational)

[type=complex-cartesian](numstring,numstring) -> constant(complex)

[type=rational](numstring,numstring) -> constant(rational)

[type=e-notation](numstring,numstring) -> constant(e-notation)

[definitionURL=definition](numstring*) -> constant(user-defined)

Propriété
<apply><eq/><cn base="16"> A </cn><cn> 10 </cn></apply>
Propriété
<apply><eq/><cn base="16"> B </cn><cn> 11 </cn></apply>
Propriété
<apply><eq/><cn base="16"> C </cn><cn> 12 </cn></apply>
Propriété
<apply><eq/><cn base="16"> D </cn><cn> 13 </cn></apply>
Propriété
<apply><eq/><cn base="16"> E </cn><cn> 14 </cn></apply>
Propriété
<apply><eq/><cn base="16"> F </cn><cn> 15 </cn></apply>
Exemple
<cn> 245 </cn>
Exemple
<cn type="integer"> 245 </cn>
Exemple
<cn type="integer" base="16"> A </cn>
Exemple
<cn type="rational"> 245 <sep/> 351 </cn>
Exemple
<cn type="complex-cartesian"> 1 <sep/> 2 </cn>
Exemple
<cn> 245 </cn>
Exemple
<apply><eq/>
<cn type="e-notation"> 2 <sep/> 5 </cn>
<apply><times/><cn>2</cn><apply><power/><cn>10</cn><cn>5</cn></apply></apply>
</apply>

C.2.1.2 MMLdefinition : ci

Description

Cet élément construit un identificateur (un nom symbolique). L'attribut type sert à indiquer le type de l'objet défini. Par défaut, l'attribut type vaut "real".

Cf. également la section 4.4.1.2 Les identificateurs (ci).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type constant | matrix | set | vector | list | MathMLtype real
Signature

({string|mmlpresentation}) -> symbol

[type=typename]({string|mmlpresentation}) -> symbol(typename)

Exemple
<ci> xyz </ci>
Exemple
<ci> type="vector"> v </ci>

C.2.1.3 MMLdefinition : csymbol

Description

L'élément csymbol permet à l'auteur d'introduire des objets nouveaux dans MathML. Les objets sont liés à des définitions externes au moyen des attribut definitionURL et encoding. L'élément csymbol devient le nom du nouvel objet. Les nouveaux objets sont habituellement des constantes ou bien des fonctions.

Cf. également la section 4.4.1.3 Les symboles à définition externe (csymbol).

Classification

constante, fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

[definitionURL=definition]({string|mmlpresentation}) -> defined_symbol

[type=typename]({string|mmlpresentation}) -> defined_symbol(typename)

Exemple
<csymbol definitionURL=".../mydefinitionofPi">&pi;</csymbol>

C.2.2 Les éléments de contenu de base

C.2.2.1 MMLdefinition : apply

Description

C'est le constructeur MathML d'application de fonction. Le premier argument est appliqué aux autres arguments. Certains sous-éléments peuvent être des éléments nommés (cf. signature).

Cf. également la section 4.4.2.1 Les applications (apply).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function,anything*) -> apply

Exemple
<apply><plus/>
  <ci>x</ci>
  <cn>1</cn>
</apply>
Exemple
<apply><sin/>
  <ci>x</ci>
</apply>

C.2.2.2 MMLdefinition : reln

Description

Ce constructeur est déconseillé. L'élément apply remplace reln dans toutes les utilisations.

C'était le constructeur MathML 1.0 pour exprimer une relation entre deux objets mathématiques (ou plus). Le premier argument indique le type de relation entre les autres arguments (cf. signature). Aucune hypothèse n'est faite concernant la valeur de vérité d'une telle relation. Normalement, la relation est utilisée comme composante de la construction d'une certaine assertion logique. On peut combiner les relations en ensembles, etc., comme tout autre objet mathématique.

Cf. également la section 4.4.2.2 Les relations (reln).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function,anything*) -> reln

Exemple

Aucun exemple de structure déconseillée n'est fourni.

C.2.2.3 MMLdefinition : fn

Description

Ce constructeur est déconseillé.

C'était le constructeur MathML 1.0 pour construire des fonctions nouvelles. Son rôle consistait à identifier un objet de contenu MathML général comme étant une fonction, qu'on puisse le définir et l'utiliser dans un contexte de fonction comme dans apply et declare. On y parvient désormais en utilisant l'attribut definitionURL et au fait que les éléments declare et apply admettent n'importe quel élément de contenu comme premier argument.

Cf. également la section 4.4.2.3 Les fonctions (fn).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(anything) -> function

[definitionURL=functiondef](anything) ->function

Exemple

Aucun exemple de structure déconseillée n'est fourni.

C.2.2.4 MMLdefinition : interval

Description

C'est l'élément constructeur MathML pour construire un intervalle dans l'ensemble des réels. Quoiqu'on puisse exprimer un intervalle au moyen d'une combinaison appropriée de relations, ils apparaissent ici explicitement en raison de leur utilisation fréquente.

Cf. également la section 4.4.2.4 Les intervalles (interval).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type closed | open | open-closed | closed-open closed
Signature

[type=interval-type](expression,expression) -> interval(interval-type)

Exemple
<apply><interval closure="open"/>
  <ci>x</ci>
  <cn>1</cn>
</apply>
Exemple
<apply><interval closure="open-closed"/>
  <cn>0</cn>
  <cn>1</cn>
</apply>

C.2.2.5 MMLdefinition : inverse

Description

Cet élément MathML s'applique à une fonction pour en construire une nouvelle que l'on interprète comme la fonction symétrique de la fonction originale. Pour une fonction F donnée, la fonction inverse(F) composée avec F se comporte comme l'application identique sur le domaine de F, et F composée avec inverse(F) devrait être une fonction identique dans un sous-ensemble restreint approprié de l'ensemble d'arrivée de F. On devrait utiliser l'attribut definitionURL de MathML pour résoudre les ambiguïtés de notation, ou pour restreindre le symétrique à un domaine particulier ou en faire une fonction à sens unique.

Cf. également la section 4.4.2.5 Les symétriques (inverse).

Classification

opérateur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function) -> function

[definitionURL=URI](function) -> function(definition)

Propriété

ForAll( y such y in domain( f^(-1)) , f( f^(-1)(y)) = y


<apply><forall/>
  <bvar><ci>y</ci></bvar>
  <bvar><ci type="function">f</ci></bvar>
  <condition>
    <apply><in/>
      <ci>y</ci>
      <apply><csymbol definitionURL="domain"><mtext>Domain</mtext></csymbol>
        <apply><inverse/><ci type="function">f</ci></apply>
      </apply>
    </apply>
  </condition>
  <apply><eq/>
    <apply><ci type="function">f</ci>
      <apply><apply><inverse/><ci type="function">f</ci></apply>
        <ci>y</ci>
      </apply>
    </apply>
    <ci>y</ci>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><inverse/>
<sin/>
</apply>
Exemple
<apply><inverse definitionURL="www.example.com/MathML/Content/arcsin"/>
  <sin/>
</apply>

C.2.2.6 MMLdefinition : sep

Description

C'est le constructeur MathML infixe utilisé pour subdiviser des valeurs de type PCDATA en composants distincts. On l'utilise pour décrire les nombres en plusieurs parties, tels que les rationnels ou les nombres complexes.

Cf. également la section 4.4.2.6 Le séparateur (sep).

Classification

ponctuation

Exemple
<cn type="complex-polar">123<sep/>456</cn>
Exemple
<cn>123</cn>

C.2.2.7 MMLdefinition : condition

Description

C'est le constructeur MathML pour construire des conditions. Une condition diffère d'une relation selon la façon dont on l'utilise. Une relation est simplement une expression, tandis qu'une condition sert comme prédicat pour placer des conditions sur des variables liées.

On peut construire des conditions composées en appliquant des opérateurs, tels que and ou or.

Cf. également la section 4.4.2.7 Les conditions (condition).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(apply) -> predicate

Exemple
<condition>
  <apply><lt/>
    <apply><power/><ci>x</ci><cn>5</cn></apply>
    <cn>3</cn>
  </apply>
</condition>

C.2.2.8 MMLdefinition : declare

Description

C'est le constructeur MathML pour associer des valeurs d'attributs par défaut et des valeurs à des objets mathématiques. Par exemple, V peut être un identificateur déclaré comme étant un vecteur (avoir pour attribut le type vecteur), ou V peut être un nom représentant un vecteur particulier.

Les valeurs d'attributs de la déclaration declare elle-même deviennent les valeurs d'attributs par défaut du premier argument de l'élément declare.

S'il y a un second argument, le premier argument devient un alias du second, et il en adopte également toutes les propriétés. Par exemple, l'identificateur v d'un élément ci, déclaré comme étant le vecteur (1,2,3), apparaîtrait dans un style de vecteur et sa norme serait celle de (1,2,3).

Cf. également la section 4.4.2.8 Les déclarations (declare).

Classification

modificateur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLtype aucune
nargs nombre d'arguments d'un objet d'opérateur *
occurrence infix | prefix prefix
Signature

[(attributename=attributevalue)*](anything) -> [(attributename=attributevalue)*](anything)

[(attributename=attributevalue)*](anything,anything) -> [(attributename=attributevalue)*](anything)

(anything,anything) -> (anything)

Exemple
<declare>
  <ci>y</ci>
  <apply><plus/><ci>x</ci><cn>3</cn></apply>
</declare>
Exemple
<declare type="vector"> <ci> V </ci> </declare>
Exemple
<declare type="vector">
  <ci> V </ci>
  <vector><cn> 1 </cn><cn> 2 </cn><cn> 3 </cn></vector>
</declare>

C.2.2.9 MMLdefinition : lambda

Description

C'est l'opération de lambda calcul pour construire une fonction d'après une expression et une variable. La fonction lambda est une fonction n-aire, dans laquelle tous les arguments sauf le dernier sont des variables liées, le dernier argument étant une expression impliquant éventuellement ces variables. On peut assimiler la fonction lambda à l'inverse d'une application de fonction.

Par exemple, Lambda( x, F ) s'écrit \lambda x [F] dans la littérature du lambda calcul. L'expression F peut contenir x mais l'expression lambda complète est vue comme libre de x. Une application de calcul recevant une expression lambda MathML ne devrait pas évaluer x ou faire de test pour x. Une telle application peut appliquer l'expression lambda comme une fonction à des arguments, auquel cas tout résultat calculé l'est par des remplacements de paramètres dans F.

Remarquez qu'une expression lambda sur une fonction arbitraire appliquée à un argument simple équivaut à cette fonction arbitraire.

Cf. également la section 4.4.2.9 La construction lambda (lambda).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(bvar*,anything) -> function

Propriété

ForAll( F , lambda(x,F(x)) = F)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>F</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <lambda>
      <bvar><ci>x</ci></bvar>
      <apply><ci>F</ci><ci>x</ci></apply>
    </lambda>
    <ci>F</ci>
  </apply>
</apply>
Exemple
<lambda>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><sin/><apply><plus/><ci> x </ci><cn> 3 </cn></apply></apply>
</lambda>

C.2.2.10 MMLdefinition : compose

Description

C'est le constructeur MathML pour la composition des fonctions. Pour qu'une composition soit significative, l'ensemble d'arrivée de la première fonction devrait être le domaine de la seconde, etc. Toutefois, puisqu'aucune évaluation n'intervient dans MathML, on peut utiliser sans risque cette structure pour faire des déclarations, telle que f composée par g ne soit pas définie.

Le résultat est une nouvelle fonction dont le domaine est celui de la première fonction et l'ensemble d'arrivée celui de la dernière fonction, et dont la définition équivaut à appliquer chaque fonction à son tour sur la sortie de la précédente, comme dans :

( f @ g )( x ) == f( g(x) )

Cette fonction est souvent indiquée par un opérateur infixe ayant la forme d'un petit cercle.

Cf. également la section 4.4.2.10 La composition des fonctions (compose).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function*) -> function

Propriété

ForAll(x, (f@g)(x) = f(g(x))

<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar><bvar><ci>f</ci></bvar><bvar><ci>g</ci></bvar>   
  <apply><eq/>
    <apply><apply><compose/><ci>f</ci><ci>g</ci></apply>
      <ci>x</ci>
    </apply>
    <apply><ci>f</ci><apply><ci>g</ci><ci>x</ci></apply></apply>
  </apply>
</apply>
Exemple

L'utilisation de l'élément fn est déconseillée : utilisez l'attribut type="function" à la place.

<apply><compose/>
  <ci type="function"> f </ci>
  <ci type="function"> g </ci>
  <sin/>
</apply>

C.2.2.11 MMLdefinition : ident

Description

L'élément ident représente l'application identique. MathML ne fait aucune hypothèse pour l'espace de fonctions dans lequel réside l'application identique. L'interprétation exacte du domaine de l'application identique (et donc de son ensemble d'arrivée) dépend du contexte où elle est utilisée.

Cf. également la section 4.4.2.11 L'application identique (ident).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

fonction

Propriété

ForAll(x, ident(x) = x )


<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><ident/><ci>x</ci></apply>
    <ci>x</ci>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><eq/>
  <apply><compose/>
    <ci type="function"> f </ci>
    <apply><inverse/><ci type="function"> f </ci>
</apply>
  </apply>
  <ident/>
</apply>

C.2.2.12 MMLdefinition : domain

Description

L'élément domain indique le domaine d'une fonction donnée, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs pour lesquelles celle-ci est définie.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.12 Le domaine (domain).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function) -> set

Exemple
<apply><eq/>
  <apply><domain/><ci>f</ci></apply>
  <reals/>
</apply>

C.2.2.13 MMLdefinition : codomain

Description

L'élément codomain désigne l'ensemble d'arrivée d'une fonction donnée, c'est-à-dire l'ensemble contenant toutes les valeurs prises par la fonction. L'ensemble d'arrivée peut contenir d'autres points non obtenus par l'application de la fonction sur les éléments du domaine.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.13 L'ensemble d'arrivée (codomain).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function) -> set

Propriété

ForAll(y, y =f(x) , member(y,codomain(f)))

Exemple
<apply><eq/>
  <apply><codomain/><ci>f</ci></apply>
  <rationals/>
</apply>

C.2.2.14 MMLdefinition : image

Description

L'élément image indique l'image d'une fonction donnée, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs que celle-ci prend. Chaque point de l'image est généré par la fonction appliquée à un certain point du domaine.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.14 L'image (image).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function) -> set

Propriété

ForAll(x, x in codomain(f) , ThereExists(y,f(y)=x))

Exemple
<apply><eq/>
  <apply><image/><sin/></apply>
  <interval><cn>-1</cn><cn> 1</cn></interval>
</apply>

C.2.2.15 MMLdefinition : domainofapplication

Description

L'élément domainofapplication indique le domaine sur lequel une fonction donnée est appliquée. Il constitue une alternative plus générale à la définition de ce domaine en utilisant des éléments quantificateurs, tels que bvar, lowlimit ou condition.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.15 Le domaine d'application (domainofapplication).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function) -> set

Exemple
<apply><int/>
  <domainofapplication><ci>C</ci></domainofapplication>
  <ci>f </ci>
</apply>

C.2.2.16 MMLdefinition : piecewise

Description

Les éléments piecewise, piece et otherwise sont utilisés pour gérer les déclarations en morceaux (N.d.T. piecewise) de la forme H(x) = 0, si x est inférieur à 0, sinon H(x) = 1. Les éléments piece et otherwise décrivent des règles d'évaluation. Si aucune règle ne s'applique, ou si plusieurs règles s'appliquent mais donnant des réponses différentes, alors l'expression n'est pas définie.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.2.16 Les déclarations en morceaux (piecewise, piece, otherwise).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(piece*,otherwise) -> algebraic

Propriété

ForAll(x, x in domain(f) , les règles d'évaluation produisent collectivement une valeur au plus dans codomain(f))

Exemple
<piecewise>
  <piece><cn> 0</cn><apply><lt/><ci> x</ci> <cn> 0</cn></apply></piece>
  <otherwise><ci>x</ci></otherwise>
</piecewise>
Exemple

La valeur de la fonction abs évaluée sur x peut s'écrire :

<piecewise>
  <piece>
    <apply><minus/><ci>x</ci></apply>
    <apply><lt/><ci> x</ci><cn> 0</cn></apply>
  </piece>
  <piece>
    <cn>0</cn>
    <apply><eq/><ci>x</ci><cn>0</cn></apply>
  </piece>
  <piece>
    <ci>x</ci>
    <apply><gt/><ci>x</ci><cn>0</cn></apply>
  </piece>
</piecewise>

C.2.2.17 MMLdefinition : piece

Description

L'élément piece sert à construire les valeurs définies conditionnellement qui font partie d'un objet piecewise.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(algebraic,boolean) -> piece

Exemple
<piecewise>
  <piece><cn>0</cn><apply><lt/><ci> x</ci> <cn> 0</cn></apply></piece>
  <otherwise><ci>x</ci></otherwise>
</piecewise>

C.2.2.18 MMLdefinition : otherwise

Description

L'élément otherwise sert à décrire la valeur d'une structure piecewise quand aucune des conditions piece associées n'est satisfaite.

Pour remplacer la sémantique par défaut de cet élément, ou pour lui associer une définition plus spécifique, utilisez les attributs definitionURL et encoding.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(algebraic) -> algebraic

Exemple
<piecewise>
  <piece><cn> 0</cn><apply><lt/><ci> x</ci> <cn> 0</cn></apply></piece>
  <otherwise><ci>x</ci></otherwise>
</piecewise>

C.2.3 L'arithmétique, l'algèbre et la logique

C.2.3.1 MMLdefinition : quotient

Description

La fonction quotient est la fonction binaire qui sert à représenter l'opération de division entière. L'expression quotient(a,b) indique q, tel que a = b * q + r, avec |r| inférieur à |b| et a * r positif.

Cf. également la section 4.4.3.1 Le quotient (quotient).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType integer
Signature

(integer, integer) -> integer

Propriété

forall([a,b], b != 0, a = b*quotient(a,b) + rem(a,b)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <bvar><ci>b</ci></bvar>
  <condition><apply><neq/><ci>b</ci><cn>0</cn></apply></condition>
  <apply><eq/>
    <ci>a</ci>
    <apply><plus/>
      <apply><times/>
          <ci>b</ci>
          <apply><quotient/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
      </apply>
      <apply><rem/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
    </apply>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><quotient/>
  <ci> a </ci>
  <ci> b </ci>
</apply>
Exemple
<apply>
<quotient/>
<cn>5</cn>
<cn>4</cn>
</apply>

C.2.3.2 MMLdefinition : factorial

Description

C'est l'opérateur unaire qui sert à construire des factorielles. Les factorielles sont définies par n! = n * (n-1) * ... * 1.

Cf. également la section 4.4.3.2 Les factorielles (factorial).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType integer
Signature

( algebraic ) -> algebraic

(integer)->integer

Propriété

ForAll(n,n \gt 0, n! = n*(n-1)!)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>n</ci></bvar>
  <condition><apply><gt/><ci>n</ci><cn>0</cn></apply></condition>
  <apply><eq/>
    <apply><factorial/><ci>n</ci></apply>
    <apply><times/>
      <ci>n</ci>
      <apply><factorial/>
        <apply><minus/><ci>n</ci><cn>1</cn></apply>
      </apply>
    </apply>
  </apply>
</apply>
Propriété

0! = 1

<apply></eq>
  <apply><factorial/><cn>0</cn></apply>
  <cn>1</cn>
</apply>
Exemple
<apply><factorial/>
<ci>n</ci>
</apply>

C.2.3.3 MMLdefinition : divide

Description

C'est l'opérateur MathML binaire utilisé pour indiquer l'opération mathématique divisé par.

Cf. également la section 4.4.3.3 La division (divide).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

(complex, complex) -> complex

(real, real) -> real

(rational, rational) -> rational

(integer, integer) -> rational

Propriété

Erreur de division par zéro


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><divide/><ci> a </ci><ci> 0 </ci>
    <notanumber/>
  </apply>
  </apply>
</apply>
Propriété

ForAll( a , a!= 0, a/a = 1)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <condition><apply><neq/><ci>a</ci><cn>0</cn></apply></condition>
  <apply><eq/>
    <apply><divide/><ci>a</ci><ci>a</ci></apply>
    <cn>1</cn>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><divide/>
<ci> a </ci>
<ci> b </ci>
</apply>

C.2.3.4 MMLdefinition : max

Description

C'est l'opérateur n-aire utilisé pour représenter le maximum dans un ensemble d'éléments. Les éléments peuvent être listés explicitement, ou bien décrits par une condition ; par exemple, le maximum de tous les x de l'ensemble A.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

( ordered_set_element * ) -> ordered_set_element

( bvar,condition,anything ) -> anything

Propriété

ForAll(x in S, max(y in S,y) \geq x )

Exemple

Le maximum d'une liste finie d'éléments.


<apply><max/><cn>2</cn><cn>3</cn><cn>5</cn></apply>
Exemple

Max(y^3, y in (0,1))


<apply>
<max/>
<bvar><ci>y</ci></bvar>
<condition>
<apply><in/><ci>y</ci><interval><cn>0</cn><cn>1</cn></interval></apply>
</condition>
<apply><power/><ci> y</ci><cn>3</cn></apply>
</apply>

C.2.3.5 MMLdefinition : min

Description

C'est l'opérateur n-aire utilisé pour représenter le minimum dans un ensemble d'éléments. Les éléments peuvent être listés explicitement, ou bien décrits par une condition ; par exemple, le minimum de tous les x dans l'ensemble A.

Les éléments doivent tous être comparables pour que le résultat soit bien défini.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

( ordered_set_element * ) -> ordered_set_element

( bvar,condition,anything ) -> ordered_set_element

Exemple

Le minimum d'une liste finie d'éléments.


<apply><min/><cn>2</cn><cn>3</cn><cn>5</cn></apply>
Exemple

min(y^2, y in (0,1))


<apply>
<min/>
<bvar><ci>y</ci></bvar>
<condition>
<apply><in/><ci>y</ci><interval><cn>0</cn><cn>1</cn></interval></apply>
</condition>
<apply><power/><ci> y</ci><cn>2</cn></apply>
</apply>

C.2.3.6 MMLdefinition : minus

Description

C'est l'opérateur de soustraction pour un groupe additif.

Si un argument est fourni, cet opérateur construit le symétrique additif de cet élément de groupe. Pour deux arguments a et b, il construit l'expression mathématique a - b.

Cf. également la section 4.4.3.5 La soustraction (minus).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

(real) -> real

(real,real) -> real

[type=MathMLtype](MathMLtype) -> MathMLtype

[type=MathMLtype](MathMLtype,MathMLtype) -> MathMLtype

(set,set) -> set

(multiset,multiset)->multiset

Propriété

ForAll(x,x-x=0)

<apply><forall/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><minus/><ci> x </ci><ci> x </ci></apply>
    <cn>0</cn>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><minus/>
<cn>3</cn>
<cn>5</cn>
</apply>
Exemple
<apply><minus/>
<cn>3</cn>
</apply>

C.2.3.7 MMLdefinition : plus

Description

C'est l'opérateur d'addition n-aire d'une structure algébrique. Si aucun opérande n'est fourni, l'expression représente l'identique additif. Si un opérande a est fourni, l'expression est évaluée à "a". Si deux opérandes (ou plus) sont fournis, l'expression représente l'élément de (demi-)groupe correspondant au couplage binaire associatif à gauche des opérandes. La signification des types d'opérandes mixtes, non couverts par les signatures présentées ici, est laissée à l'initiative du système cible.

Pour des règles de transtypage différentes de celles indiquées par les signatures, utilisez l'attribut definitionURL afin d'identifier la nouvelle définition.

Cf. également la section 4.4.3.6 L'addition (plus).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

[type=MathMLtype](anything*) -> MathMLtype

(set*)->set

(multiset*)->multiset

(real*)->real

(complex*)->complex

(integer*)->integer

Propriété

Une somme sans terme est nulle.


<apply><eq/>
  <apply><plus/></apply>
  <cn>0</cn>
</apply> 
Propriété

La somme d'un seul terme est égale à celui-ci.


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><plus/><ci>a</ci></apply>
    <cn>a</cn>
  </apply> 
</apply>
Propriété

commutative


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <bvar><ci>b</ci></bvar>
  <condition>
    <apply><and/>
      <apply><in/><ci>a</ci><reals/></apply>
      <apply><in/><ci>b</ci><reals/></apply>
    </apply>
  </condition>
  <apply><eq/>
    <apply><plus/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
    <apply><plus/><ci>b</ci><ci>a</ci></apply>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><plus/>
  <cn>3</cn>
</apply>
Exemple
<apply><plus/>
<cn>3</cn>
<cn>5</cn>
</apply>
Exemple
<apply><plus/>
<cn>3</cn>
<cn>5</cn>
<cn>7</cn>
</apply>

C.2.3.8 MMLdefinition : power

Description

C'est l'opérateur d'élévation à une puissance qui sert à construire les expressions, telle que a (à la) puissance b. En particulier, c'est l'opération pour laquelle a (à la) puissance 2 équivaut à a * a.

Cf. également la section 4.4.3.7 L'exponentiation (power).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

(complex, complex) -> complex

(real, real) -> complex

(rational, integer) -> rational

(integer, integer) -> rational

[type=MathMLtype](anything,anything) -> MathMLtype

Propriété

ForAll(a,a!=0,a^0=1)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <condition><apply><neq/><ci>a</ci><cn>0</cn></apply></condition>
  <apply><eq/>
    <apply><power/><ci>a</ci><cn>0</cn></apply>
    <cn>1</cn>
  </apply>
</apply>
Propriété

ForAll(a,a^1=a)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><power/><ci>a</ci><cn>1</cn></apply>
    <ci>a</ci>
  </apply>
</apply>
Propriété

ForAll(a,1^a=1)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>a</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><power/><cn>1</cn><ci>a</ci></apply>
    <cn>1</cn>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><power/><cn>2</cn><ci>x</ci></apply>
Exemple
<apply><power/><ci> x </ci><cn> 3 </cn></apply>

C.2.3.9 MMLdefinition : rem

Description

C'est l'opérateur binaire qui sert à représenter le reste entier de a mod b. Pour les arguments a et b, tels que a = b * q + r, avec |r| < |b|, il représente la valeur r.

Cf. également la section 4.4.3.8 Le reste (rem).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType integer
Signature

(integer, integer) -> integer

[type=MathMLtype](MathMLtype,MathMLtype)->MathMLtype

Propriété

L'expression rem(a, 0) n'est pas définie.

Propriété

ForAll([a,b],b!=0,a = b*quotient(a,b) + rem(a,b))


<apply><forall/>
<bvar><ci>a</ci></bvar>
<bvar><ci>b</ci></bvar>
<condition><apply><neq/><ci>b</ci><cn>0</cn></apply></condition>
<apply><eq/>
<ci>a</ci>
<apply><plus/>
<apply><times/>
<ci>b</ci>
<apply><quotient/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
</apply>
<apply><rem/>
 <ci>a</ci>
 <ci>b</ci>
</apply>
</apply>
<apply/>
</apply>
Exemple
<apply><rem/><ci> a </ci><ci> b </ci></apply>

C.2.3.10 MMLdefinition : times

Description

C'est l'opérateur de multiplication n-aire pour un anneau. Si aucun argument n'est fourni, alors cela représente l'identique de la multiplication. Si un argument est fourni, cela représente une expression qui serait évaluée à ce seul argument.

Cf. également la section 4.4.3.9 La multiplication (times).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

(complex*) -> complex

(real*) -> real

(rational*) -> rational

(integer*) -> integer

Propriété

ForAll([a,b],condition(in({a,b},Commutative)),a*b=b*a)

Propriété

ForAll([a,b,c],Associative,a*(b*c)=(a*b)*c), associativité

Propriété

L'identique de la multiplication.


<apply><forall/>
<bvar><ci>a</ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply><times/><cn>1</cn><ci>a</ci></apply>
<ci>a</ci>
</apply> 
</apply>
Propriété

a * 0 = 0

Propriété

Commutativité


<apply><forall/>
<bvar><ci>a</ci></bvar>
<bvar><ci>b</ci></bvar>
<condition>
<apply><and/>
<apply><in/><ci>a</ci><reals/></apply>
<apply><in/><ci>b</ci><reals/></apply>
</apply>
</condition>
<apply><eq/>
<apply><times/><ci>a</ci><ci>b</ci></apply>
<apply><times/><ci>b</ci><ci>a</ci></apply>
</apply>
</apply>
Propriété

a * 0 = 0


<apply><forall/>
<bvar><ci>a</ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply><times/><cn>0</cn><ci>a</ci></apply>
<cn>0</cn>
</apply> 
</apply>
Exemple
<apply>
<times/>
<ci> a </ci>
<ci> b </ci>
</apply>

C.2.3.11 MMLdefinition : root

Description

C'est l'opérateur binaire qui sert à contruire la racine nème d'une expression. Le premier argument a représente l'expression et le second n indique la racine, comme dans ( a ) ^ (1/n)

Cf. également la section 4.4.3.10 Les racines (root).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type real | complex | principal_branch | MathMLtype real
Signature

( anything , anything) -> root

Propriété

ForAll(bvars(a,n),root(a,n) = a^(1/n))

  
Exemple

La racine nème de a


<apply><root/>
<ci> a </ci>
<ci> n </ci>
</apply>

C.2.3.12 MMLdefinition : gcd

Description

C'est l'opérateur n-aire qui sert à construire l'expression représentant le plus grand commun diviseur de ses arguments. Si aucun argument n'est fourni, le p.g.c.d. vaut 0. Si un argument est fourni, le p.g.c.d. est cet argument.

Cf. également la section 4.4.3.11 Le plus grand commun diviseur (gcd).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType integer
Signature

[type=MathMLtype](MathMLtype*) ->MathMLtype

(integer*) -> integer

Propriété
<apply><forall/>
<forall/>
<bvar><ci>x</ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply><gcd/>
<ci>x</ci>
<cn>1</cn>
</apply>
<cn>1</cn>
</apply>
</apply>
Exemple
<apply><gcd/>
<cn>12</cn>
<cn>17</cn>
</apply>
Exemple
<apply><gcd/>
<cn>3</cn>
<cn>5</cn>
<cn>7</cn>
</apply>

C.2.3.13 MMLdefinition : and

Description

C'est l'opérateur logique n-aire et. Il sert à construire l'expression logique qui, si elle était évaluée, aurait la valeur de vérité vrai si tous ses opérandes avaient la valeur de vérité vrai, et faux sinon.

Cf. également la section 4.4.3.12 Et (and).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType boolean
Signature

(boolean*) -> boolean

Propriété

forall(p,(true and p = p )

Propriété

forall([p,q],(p and q = q and p ))

Propriété

x and not(x) = false

Exemple
<apply><and/>
<ci>p</ci>
<ci>q</ci>
</apply>

C.2.3.14 MMLdefinition : or

Description

C'est l'opérateur logique n-aire ou. L'expression construite a la valeur de vérité vrai si au moins un de ses arguments est vrai.

Cf. également la section 4.4.3.13 Ou (or).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType boolean
Signature

(boolean*) -> boolean

[type="boolean"](symbolic*) -> boolean

Exemple
<apply>
<or/>
<ci> a </ci>
<ci> b </ci>
</apply>

C.2.3.15 MMLdefinition : xor

Description

C'est l'opérateur logique n-aire ou exclusif. L'expression construite a la valeur de vérité vrai si un nombre impair de ses arguments sont vrais.

Cf. également la section 4.4.3.14 Ou exclusif (xor).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType boolean
Signature

(boolean*) -> boolean

[type="boolean"](symbolic*) -> symbolic

Propriété

x xor x = false

Propriété

x xor not(x) = true

Exemple
<apply>
<xor/>
<ci> a </ci>
<ci> b </ci>
</apply>

C.2.3.16 MMLdefinition : not

Description

C'est l'opérateur logique unaire non. Il nie la valeur de vérité de son seul argument ; par exemple, non P est vrai lorsque P est faux, et faux lorsque P est vrai.

Cf. également la section 4.4.3.15 Non (not).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType boolean
Signature

(boolean) -> boolean

[type="boolean"](algebraic) -> boolean

Exemple
<apply>
<not/>
<ci> a </ci>
</apply>

C.2.3.17 MMLdefinition : implies

Description

C'est l'opérateur binaire implique. Il sert à construire l'expression logique A implique B.

Cf. également la section 4.4.3.16 Implique (implies).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType boolean
Signature

(boolean,boolean) -> boolean

Propriété

faux implique x

Exemple
<apply>
<implies/>
<ci> A </ci>
<ci> B </ci>
</apply>

C.2.3.18 MMLdefinition : forall

Description

L'opérateur forall est le quantificateur logique pour tous les. Les variables liées, le cas échéant, apparaissent en premier et sont balisées avec des éléments bvar. Suit, en option, une condition sur les variables liées. Le dernier argument est l'expression booléenne affirmée comme étant vraie pour toutes les valeurs des variables liées correspondant aux conditions indiquées (le cas échéant).

Cf. également la section 4.4.3.17 Le quantificateur universel (forall).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType boolean
Signature

(bvar*,condition?,apply) -> boolean

(bvar*,condition?,(reln)) -> boolean

Exemple
<apply>
<forall/>
<bvar><ci> x </ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply>
<minus/><ci> x </ci><ci> x </ci>
</apply>
<cn>0</cn>
</apply>
</apply>

C.2.3.19 MMLdefinition : exists

Description

C'est l'opérateur MathML qui sert à affirmer une existence, comme dans l'expression Il existe x tel que x soit réel et x soit positif.

- Le premier argument indique la variable liée,

- Le deuxième argument optionnel place des conditions sur cette variable liée,

- Le dernier argument est l'expression affirmée comme étant vraie.

Cf. également la section 4.4.3.18 Le quantificateur existentiel (exists).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType boolean
Signature

(element,set) ->boolean

Exemple
<apply><exists/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><ci>f</ci>
      <ci>x</ci>
    </apply>
    <cn>0</cn>
  </apply>
</apply>

C.2.3.20 MMLdefinition : abs

Description

Un opérateur unaire qui représente la valeur absolue de son argument. Dans le cas d'un nombre complexe, il est souvent désigné par le nom de module.

Cf. également la section 4.4.3.19 La valeur absolue (abs).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

(real)->real

(complex)->real

Propriété

for all x and y, abs(x) + abs(y) >= abs(x+y)

Exemple
<apply><abs/><ci>x</ci></apply>

C.2.3.21 MMLdefinition : conjugate

Description

L'opérateur arithmétique unaire conjugate sert à représenter la conjuguée complexe de son argument.

Cf. également la section 4.4.3.20 La conjugaison complexe (conjugate).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(algebraic) -> algebraic

(complex)->complex

Exemple
<apply><conjugate/>
  <apply><plus/>
    <ci> x </ci>
    <apply><times/>
      <imaginaryi/>
    <ci> y </ci>
    </apply>
  </apply>
</apply>

C.2.3.22 MMLdefinition : arg

Description

L'opérateur unaire arg sert à construire l'expression représentant l'argument d'un nombre complexe.

Cf. également la section 4.4.3.21 L'argument (arg).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

(complex)->real

Exemple
<apply><arg/>
  <apply><plus/>
    <ci> x </ci>
    <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
  </apply>
</apply>

C.2.3.23 MMLdefinition : real

Description

Un opérateur unaire qui sert à construire l'expression représentant la partie réelle d'un nombre complexe.

Cf. également la section 4.4.3.22 La partie réelle (real).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

(complex)->real

Propriété

ForAll(x,y, x in R, Y in R, real(x+i*y)=x)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <bvar><ci>y</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><real/>
      <apply><plus/>
        <ci> x </ci>
        <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
      </apply>
    </apply>
    <ci> x </ci>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><real/>
  <apply><plus/>
    <ci> x </ci>
    <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
  </apply>
</apply>

C.2.3.24 MMLdefinition : imaginary

Description

Une fonction unaire qui sert à construire l'expression représentant la partie imaginaire d'un nombre complexe.

Cf. également la section 4.4.3.23 La partie imaginaire (imaginary).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

(complex)->real

Propriété

forall([x,y],Imaginary(x + i*y) = y )


<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <bvar><ci>y</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><imaginary/>
      <apply><plus/>
        <ci> x </ci>
        <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
      </apply>
    </apply>
    <ci> y </ci>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><imaginary/>
  <apply><plus/>
    <ci> x </ci>
    <apply><times/><imaginaryi/><ci>y</ci></apply>
  </apply>
</apply>

C.2.3.25 MMLdefinition : lcm

Description

Cet opérateur n-aire sert à construire l'expression représentant le plus petit commun multiple de ses arguments. Si aucun argument n'est fourni, le p.p.c.m. vaut 1. Si un argument est fourni, le p.p.c.m. est cet argument. Le p.p.c.m. de x et 1 est x.

Cf. également la section 4.4.3.24 Le plus petit commun multiple (lcm).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType integer
Signature

[type=MathMLtype](MathMLtype*) ->MathMLtype

(integer*) -> integer

(algebraic*) -> algebraic

Propriété

ForAll(x,lcm(x,1)=x)


<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
<apply><eq/>
<apply><lcm/><ci>x</ci><cn>1</cn></apply>
<ci>x</ci>
</apply>
</apply>
Exemple
<apply><lcm/>
  <cn>12</cn>
  <cn>17</cn>
</apply>
Exemple
<apply><lcm/>
  <cn>3</cn>
  <cn>5</cn>
  <cn>7</cn>
</apply>

C.2.3.26 MMLdefinition : floor

Description

L'élément floor sert à indiquer l'opérateur d'arrondi inférieur (vers l'infini négatif).

Cf. également la section 4.4.3.25 L'arrondi inférieur (floor).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType integer
Signature

(real) -> integer

[type=MathMLtype](orderedset_element) -> orderedset_element

Propriété

ForAll(x,floor(x) <= x)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><leq/>
    <apply><floor/>
      <ci>x</ci>
    </apply>
    <ci>x</ci>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply> <floor/>
  <ci> a </ci>
</apply>

C.2.3.27 MMLdefinition : ceiling

Description

L'élément ceiling sert à indiquer l'opérateur d'arrondi supérieur (vers l'infini positif).

Cf. également la section 4.4.3.26 L'arrondi supérieur (ceiling).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType integer
Signature

(real) -> integer

[type=MathMLtype](orderedset_element) -> orderedset_element

Propriété

ForAll(x,ceiling(x) >= x)

<apply><forall/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><geq/>
    <apply><ceiling/>
      <ci>x</ci>
    </apply>
    <ci>x</ci>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply> <ceiling/>
  <ci> a </ci>
</apply>

C.2.4 Les relations

C.2.4.1 MMLdefinition : eq

Description

Cette fonction n-aire sert à indiquer que deux quantités (ou plus) sont égales. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.1 Égal à (eq).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(real,real+) -> boolean

(boolean, boolean+) -> boolean

(set,set+) -> set

(multiset,multiset+) -> multiset

Propriété

symétrique

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple
<apply><eq/><cn type="rational">2<sep/>4</cn><cn type="rational">1<sep/>2</cn></apply>
Exemple
<apply><eq/><ci type="set">A</ci><ci type="set">B</ci></apply>
Exemple
<apply><eq/><ci type="multiset">A</ci><ci type="multiset">B</ci></apply>

C.2.4.2 MMLdefinition : neq

Description

Cette fonction binaire représente la relation non égal à, qui renvoie vrai sauf si les deux arguments sont égaux.

Cf. également la section 4.4.4.2 Non égal à (neq).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(real,real) -> boolean

(boolean,boolean)-> boolean

(set,set) -> set

(multiset,multiset) -> multiset

Propriété

symétrique

Exemple
<apply><neq/><cn>3</cn><cn>4</cn></apply>

C.2.4.3 MMLdefinition : gt

Description

Cette fonction n-aire représente la relation supérieur à, qui renvoie vrai si chaque argument est, à son tour, supérieur à celui qui le suit. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.3 Supérieur à (gt).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

transitive

Exemple
<apply><gt/><cn>3</cn><cn>2</cn></apply>

C.2.4.4 MMLdefinition : lt

Description

Cette fonction n-aire représente la relation inférieur à, qui renvoie vrai si chaque argument est, à son tour, inférieur à celui qui le suit. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.4 Inférieur à (lt).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

transitive

Exemple
<apply><lt/><cn>2</cn><cn>3</cn><cn>4</cn></apply>

C.2.4.5 MMLdefinition : geq

Description

Cet élément représente la fonction n-aire supérieur ou égal à, qui renvoie vrai si chaque argument est, à son tour, supérieur ou égal à celui qui le suit. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.5 Supérieur ou égal à (geq).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple
<apply><geq/><cn>4</cn><cn>3</cn><cn>3</cn></apply>

C.2.4.6 MMLdefinition : leq

Description

Cette fonction n-aire représente la relation inférieur ou égal à, qui renvoie vrai si chaque argument est, à son tour, inférieur ou égal à celui qui le suit. Il doit y avoir au moins deux arguments.

Cf. également la section 4.4.4.6 Inférieur ou égal à (leq).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple
<apply><leq/><cn>3</cn><cn>3</cn><cn>4</cn></apply>

C.2.4.7 MMLdefinition : equivalent

Description

Cet élément représente la fonction n-aire d'équivalence logique, pour laquelle deux valeurs booléenne sont dites équivalentes si leurs valeurs de vérité sont égales pour tous les choix de valeurs des variables booléennes apparaissant dans celles-ci.

Cf. également la section 4.4.4.7 Équivalent à (equivalent).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(logical,logical+) -> boolean

Propriété

symétrique

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple
<apply><equivalent/>
  <ci>a</ci>
  <apply><not/>
    <apply<not/><ci>a</ci></apply>
  </apply>
<apply>

C.2.4.8 MMLdefinition : approx

Description

Cet élément sert à indiquer que deux quantités (ou plus) sont approximativement égales. Si une définition plus précise d'approximativement égal à est nécessaire, on devrait utiliser l'attribut definitionURL pour identifier la définition qui convient.

Cf. également la section 4.4.4.8 Approximativement égal à (approx).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLType real
Signature

(real,real+) -> boolean

Propriété

symétrique

Propriété

transitive

Propriété

réflexive

Exemple
<apply><approx/><pi/><cn type="rational">22<sep/>7</cn></apply>

C.2.4.9 MMLdefinition : factorof

Description

C'est l'opérateur binaire MathML qui sert à indiquer la relation mathématique a est facteur de b. Cette relation est vraie seulement si b mod a = 0.

Cf. également la section 4.4.4.9 Facteur de (factorof).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type MathMLtype integer
Signature

(integer, integer) -> boolean

Propriété

ForAll( a,b a et b entiers, a divise b s'il y a un entier c tel que a*c = b)

Exemple
<apply><factorof/>
  <ci> a </ci>
  <ci> b </ci>
</apply>

C.2.5 Le calcul et le calcul vectoriel

C.2.5.1 MMLdefinition : int

Description

L'intégrale définie ou indéfinie d'une fonction ou d'une expression algébrique. Il existe plusieurs formes de séquences d'appel, selon la nature des arguments et qu'il s'agisse ou non d'une intégrale définie.

Cf. également la section 4.4.5.1 L'intégration (int).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function) -> function

(bvar,algebraic) -> algebraic

(bvar,interval,algebraic) -> algebraic

(bvar,condition,algebraic) -> algebraic

(bvar,lowlimit,uplimit,algebraic) -> algebraic

Exemple
<apply><int/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <lowlimit><cn> 0 </cn></lowlimit>
  <uplimit><ci> a </ci></uplimit>
  <apply><ci> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>
Exemple
<apply><int/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <interval><ci> a </ci><ci> b </ci></interval>
  <apply><cos/><ci> x </ci></apply>
</apply>
Exemple
<apply><int/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <condition>
    <apply><in/><ci> x </ci><ci type="set"> D </ci></apply>
  </condition>
  <apply><ci type="function"> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>

C.2.5.2 MMLdefinition : diff

Description

Cet élément apparaît sous deux formes : l'une pour les fonctions et l'autre pour les expressions impliquant une variable liée.

Pour les expressions dans la variable liée x, l'expression à différencier suit la variable liée.

S'il n'y a qu'un seul argument (une fonction), l'application de diff sur celui-ci résulte en une nouvelle fonction, la dérivée de f, souvent notée f'.

Cf. également la section 4.4.5.2 La différenciation (diff).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type function | algebraic algebraic
Signature

(bvar,algebraic) -> algebraic

(function) -> function

Propriété

ForAll([x,n],n!=0,diff( x^n , x ) = n*x^(n-1))

Exemple

diff( sin(x) , x ) = cos(x)


<apply><eq/>
  <apply><diff/>
    <bvar><ci>x</ci></bvar>
    <apply><sin/><ci>x</ci></apply>
  </apply>
  <apply><cos/><ci>x</ci></apply>
</apply>
Exemple

diff(x^2,x)


<apply><diff/>
  <bvar><ci>x</ci></bvar>
  <apply><power/><ci>x</ci><cn>2</cn></apply>
</apply>
Exemple

diff(f(x),x)


<apply><diff/><bvar><ci> x </ci></bvar>
<apply><ci type="function"> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>
Exemple

diff(sin) = cos


<apply><eq/><apply><diff/><sin/></apply><cos/></apply>

C.2.5.3 MMLdefinition : partialdiff

Description

Cet élément sert à exprimer une différenciation partielle. Il apparaît sous deux formes : l'une correspondant à la différenciation d'expressions algébriques (souvent affichée en employant la notation de Leibnitz) et l'autre pour exprimer les dérivées partielles de fonctions effectives (souvent exprimées selon $D_{1,2} f $)

Pour la première forme, les arguments sont les variables liées, suivies par l'expression algébrique. Le résultat est une expression algébrique. Les répétitions des variables liées sont indiquées par des éléments degree. Le degré total est indiqué par un élément degree au niveau supérieur.

Pour la seconde forme, il y a deux arguments : une liste d'indices, indiquant par leur position quelles coordonnées sont impliquées dans la construction des dérivées partielles, et la fonction en question. Les coordonnées peuvent être répétées.

Cf. également la section 4.4.5.3 La différenciation partielle (partialdiff).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type function | algebraic algebraic
Signature

(degree?,bvar+,algebraic) -> algebraic

(vector,function) -> function

Propriété

ForAll(x,y,diff( x*y , x ) = diff(x,x)*y + diff(y,x)*x )

Propriété

ForAll(x,a,b,diff( a + b , x ) = diff(a,x) + diff(b,x) )

Propriété

diff(sin) = cos

Exemple

d^k/(dx^m dy^n) f(x,y)


<apply><partialdiff/>
<degree><ci>k</ci></degree>
<bvar><ci> x </ci><degree><ci> m </ci></degree></bvar>
<bvar><ci> y </ci><degree><ci> n </ci></degree></bvar>
<apply><ci type="function"> f </ci>
<ci> x </ci>
<ci> y </ci>
</apply>
</apply>
Exemple

d^2/(dx dy) f(x,y)


<apply><partialdiff/>
<bvar><ci> x </ci></degree></bvar>
<bvar><ci> y </ci></degree></bvar>
<apply><ci type="function"> f </ci>
<ci> x </ci>
<ci> y </ci>
</apply>
</apply>
Exemple

D_{1,1,3}(f)


<apply><partialdiff/>
<list><cn>1</cn><cn>1</cn><cn>3</cn></list>
<ci type="function">f</ci>
</apply>

C.2.5.4 MMLdefinition : lowlimit

Description

Cet élément construit une limite inférieure. On utilise des limites supérieures et inférieures dans certaines intégrales comme autre moyen de décrire l'intervalle.

Cf. également la section 4.4.5.4 La limite inférieure (lowlimit).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(algebraic+) -> lowlimit

Exemple

cf. int

C.2.5.5 MMLdefinition : uplimit

Description

Cet élément construit une limite supérieure. On utilise des limites supérieures et inférieures dans certaines intégrales comme autre moyen de décrire l'intervalle.

Cf. également la section 4.4.5.5 La limite supérieure (uplimit).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(algebraic+) -> uplimit

Exemple

cf. int

C.2.5.6 MMLdefinition : bvar

Description

L'élément bvar est l'élément conteneur de la variable liée d'une opération. Par exemple, dans une intégrale, il indique la variable d'intégration. Dans une dérivée, il indique la variable par rapport à laquelle la fonction est différenciée. Lorsque l'élément bvar est utilisé pour quantifier une dérivée, il peut contenir un sous-élément degree indiquant l'ordre de la dérivée par rapport à cette variable. L'élément bvar sert aussi pour la variable interne dans les sommes et les produits.

Cf. également la section 4.4.5.6 Les variables liées (bvar).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(symbol,degree?) -> bvar

Exemple
<apply><forall/><bvar><ci>x</ci></bvar>
<condition><apply><in/><ci>x</ci><reals/></apply></condition>
<apply><eq/><apply><minus/><ci>x</ci><ci>x</ci></apply><cn>0</cn></apply>
</apply>
Exemple
<apply><diff/>
<bvar><ci>x</ci><degree><cn>2</cn></degree></bvar>
<apply><power/><ci>x</ci><cn>5</cn></apply>
</apply>

C.2.5.7 MMLdefinition : degree

Description

Un paramètre utilisé par certains types de données MathML pour indiquer qu'une variable liée est, par exemple, répétée plusieurs fois.

Cf. également la section 4.4.5.7 Le degré (degree).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(anything) -> degree

Exemple
<apply><diff/>
<bvar><ci>x</ci><degree><cn>2</cn></degree></bvar>
<apply><power/><ci>x</ci><cn>5</cn></apply>
</apply>

C.2.5.8 MMLdefinition : divergence

Description

Cet élément sert à représenter la fonction de divergence.

Soit un argument qui est un vecteur de fonctions à valeurs scalaires défini sur les coordonnées x_1x_2, ..., x_n. Il renvoie une fonction de valeur scalaire. Cette fonction satisfait la relation de définition suivante :

divergence(F) = \partial(F_(x_1))/\partial(x_1) + ... + \partial(F_(x_n))/\partial(x_n)

Les fonctions définissant les coordonnées peuvent l'être implicitement comme des expressions définies selon les noms des coordonnées, auquel cas les noms des coordonnées doivent être fournis comme variables liées.

Cf. également la section 4.4.5.8 La divergence (divergence).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(vector(function)) -> function

(bvar+,vector(algebraic)) -> algebraic

Exemple
<apply><divergence/><ci type="vector"> E</ci></apply>
Exemple
<declare><ci>F</ci><vector><ci>f1</ci><ci>f2</ci><ci>f3</ci></vector></declare>
<apply><divergence/><ci>F</ci></apply>
Exemple
<apply><divergence/>
<bvar><ci>x</ci></bvar><bvar><ci>y</ci></bvar><bvar><ci>z</ci></bvar>
<vector>
<apply><plus/><ci>x</ci><ci>y</ci></apply>
<apply><plus/><ci>x</ci><ci>z</ci></apply>
<apply><plus/><ci>z</ci><ci>y</ci></apply>
</vector>
</apply>
Exemple

Si a est un champs vectoriel défini dans une surface fermée S englobant un volume V, alors la divergence de a est donnée par :


<apply>
  <eq/>
  <apply><divergence/><ci type="vectorfield">a</ci></apply>
  </apply>
  <apply>
    <limit/>
    <bvar>
      <ci> V </ci>
    </bvar>
    <condition>
      <apply>
        <tendsto/>
        <ci> V </ci>
        <cn> 0 </cn>
      </apply>
    </condition>
    <apply>
      <divide/>
      <apply><int encoding="text" definitionURL="SurfaceIntegrals.htm"/>
        <bvar>
          <ci> S</ci>
        </bvar>
      <ci> a </ci>
      </apply>
      <ci> V </ci>
    </apply>
  </apply>
</apply>

C.2.5.9 MMLdefinition : grad

Description

L'élément gradient est l'opérateur de gradient du calcul vectoriel, souvent appelé grad. Il représente l'opération construisant un vecteur de dérivées partielles vector( df/dx_1, df/dx_2, ..., df/dx_n ).

Cf. également la section 4.4.5.9 Le gradient (grad).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function) -> vector(function)

(bvar+,algebraic) -> vector(algebraic)

Exemple
<apply><grad/><ci type="function"> f</ci></apply>
Exemple
<apply><grad/>
<bvar><ci>x</ci></bvar><bvar><ci>y</ci></bvar><bvar><ci>z</ci></bvar>
<apply><times/><ci>x</ci><ci>y</ci><ci>z</ci></apply></apply>
</apply>

C.2.5.10 MMLdefinition : curl

Description

Cet élément sert à représenter l'opérateur de rotation. Il nécessite à la fois des coordonnées et un vecteur d'expressions définies sur ces coordonnées. Il renvoie une expression à valeur vectorielle.

Dans sa forme fonctionnelle, les coordonnées sont implicites dans la définition de la fonction, de sorte qu'il n'a besoin que d'un seul argument, qui est une fonction à valeur vectorielle, et il renvoie un vecteur de fonctions.

Soit F = F(x,y,z) = ( f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) ) et les noms de coordonnées (x,y,z), la relation suivante doit être vérifiée :

curl(F) = i X \partial(F)/\partial(x) + j X \partial(F)/\partial(y) + j X \partial(F)/\partial(Z), où i,j,k sont respectivement les vecteurs unitaires correspondant des axes x,y,z et X est la multiplication des coordonnées.

Cf. également la section 4.4.5.10 La rotation (curl).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(bvar,bvar,bvar,algebraic) -> vector(algebraic)

(vector(function) ) -> vector(function)

Propriété

curl(F) = i X \partial(F)/\partial(x) + j X \partial(F)/\partial(y) + j X \partial(F)/\partial(Z)

Exemple
<apply>
<curl/>
<ci type="vector" > f</ci>
</apply>

C.2.5.11 MMLdefinition : laplacian

Description

C'est l'élément utilisé pour indiquer une application de l'opérateur laplacien. Il peut s'appliquer directement aux expressions, auquel cas les noms des coordonnées sont fournis dans l'ordre au moyen d'éléments bvar. Il peut aussi s'appliquer directement à une fonction F, auquel cas la définition suivante correspond à F = F(x_1, x_2, ..., x_n), où x_1, x_2, ..., x_n sont les noms des coordonnées :

laplacian(F) = \partial^2(F)/\partial(x_1)^2 + ... + \partial^2(F)/\partial(x_n)^2

Cf. également la section 4.4.5.11 L'opérateur laplacien (laplacian).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(bvar+,algebraic) -> algebraic

(scalar_valued_function) -> scalar_valued_function

Exemple
<apply><laplacian/><ci type="vector"> E</ci></apply>
Exemple
<declare><ci>F</ci><vector><ci>f1</ci><ci>f2</ci><ci>f3</ci></vector></declare>
<apply><laplacian/><ci>F</ci></apply>
Exemple
<apply><laplacian/>
<bvar><ci>x</ci></bvar><bvar><ci>y</ci></bvar><bvar><ci>z</ci></bvar>
  <apply><ci>f</ci>
    <ci>x</ci><ci>y</ci>
  </apply>
</apply>

C.2.6 La théorie des ensembles

C.2.6.1 MMLdefinition : set

Description

L'élément set est l'élément conteneur qui sert à construire un ensemble d'éléments. On peut les lister explicitement, ou les définir par des conditions sur une variable liée.

Cf. également la section 4.4.6.1 Les ensembles (set).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type set | multiset set
Signature

(anything*) -> set

( bvar , condition , anything ) -> set

Exemple
<set>
  <ci> a </ci>
  <ci> b </ci>
  <ci> c </ci>
</set>
Exemple
<set>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <condition>
    <apply><lt/>
      <ci> x </ci>
      <cn> 5 </cn>
    </apply>
  </condition>
</set>

C.2.6.2 MMLdefinition : list

Description

L'élément list est l'élément conteneur qui sert à construire une liste d'éléments. On peut les lister explicitement, ou les définir par des conditions sur une variable liée.

Cf. également la section 4.4.6.2 Les listes (list).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
order lexicographic | numeric none
Signature

(anything*) -> list

(bvar,condition,anything) -> list

[order=ordering](bvar,condition,anything) -> list(ordering)

Exemple
<list>
  <ci> a </ci>
  <ci> b </ci>
  <ci> c </ci>
</list>
Exemple
<list order="numeric">
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <condition>
    <apply><lt/>
      <ci> x </ci>
      <cn> 5 </cn>
    </apply>
  </condition>
</list>

C.2.6.3 MMLdefinition : union

Description

C'est l'opération d'ensemble pour l'union de deux ensembles (ou plus). Elle se généralise aux opérations sur les ensembles multiples en observant la fréquence d'apparition de chaque élément dans l'union.

Cf. également la section 4.4.6.3 L'union (union).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(set*) -> set

( multiset+ ) -> multiset

Exemple
<apply><union/>
  <ci> A </ci>
  <ci> B </ci>
</apply>

C.2.6.4 MMLdefinition : intersect

Description

Cet opérateur indique l'intersection de deux ensembles. Si ce sont des ensembles multiples, le résultat est un ensemble multiple, où la répétition de chaque élément présent est déterminée par le plus petit nombre d'apparitions dans n'importe lequel des ensembles (ensembles multiples) lesquels apparaissent comme arguments.

Cf. également la section 4.4.6.4 L'intersection (intersect).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(set+) -> set

(multiset+) -> multiset

Exemple
<apply><intersect/>
  <ci type="set"> A </ci>
  <ci type="set"> B </ci>
</apply>

C.2.6.5 MMLdefinition : in

Description

L'élément in est l'opérateur relationnel utilisé pour l'inclusion dans un ensemble (est dans ou est membre de).

Cf. également la section 4.4.6.5 L'inclusion dans un ensemble (in).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(anything, set) -> boolean

(anything, multiset ) -> boolean

Exemple
<apply><in/>
  <ci> a </ci>
  <ci type="set"> A </ci>
</apply>

C.2.6.6 MMLdefinition : notin

Description

L'élément notin est l'opérateur relationnel utilisé pour l'exclusion d'un ensemble (n'est pas dans ou n'est pas un membre de).

Cf. également la section 4.4.6.6 L'exclusion d'un ensemble (notin).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

( anything, set ) -> boolean

( anything , multiset ) -> boolean

Exemple
<apply><notin/>
  <ci> a </ci>
  <ci type="set"> A </ci>
</apply>

C.2.6.7 MMLdefinition : subset

Description

L'élément subset est l'opérateur relationnel de contenance d'ensemble (est un sous-ensemble de).

Cf. également la section 4.4.6.7 Le sous-ensemble (subset).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(set,set) -> boolean

( multiset , multiset ) -> boolean

Exemple
<apply><subset/>
  <ci type="set"> A </ci>
  <ci type="set"> B </ci>
</apply>

C.2.6.8 MMLdefinition : prsubset

Description

L'élément prsubset est l'opérateur relationnel de partie propre de contenance d'ensemble (est la partie propre du sous-ensemble).

Cf. également la section 4.4.6.8 La partie propre de sous-ensemble (prsubset).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(set, set) -> boolean

( multiset , multiset ) -> boolean

Exemple
<apply><prsubset/>
  <ci type="set"> A </ci>
  <ci type="set"> B </ci>
</apply>

C.2.6.9 MMLdefinition : notsubset

Description

L'élément notsubset est l'opérateur relationnel de la relation d'ensemble n'est pas un sous-ensemble de).

Cf. également la section 4.4.6.9 Le non-sous-ensemble (notsubset).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(set, set) -> boolean

( multiset , multiset ) -> boolean

Exemple
<apply><notsubset/>
  <ci type="set"> A </ci>
  <ci type="set"> B </ci>
</apply>

C.2.6.10 MMLdefinition : notprsubset

Description

L'élément notprsubset construit la relation d'ensemble n'est pas la partie propre du sous-ensemble.

Cf. également la section 4.4.6.10 La non-partie propre de sous-ensemble (notprsubset).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(set, set) -> boolean

( multiset , multiset ) -> boolean

Exemple
<apply><notprsubset/>
  <ci type="set"> A </ci>
  <ci type="set"> B </ci>
</apply>

C.2.6.11 MMLdefinition : setdiff

Description

L'élément setdiff est l'opérateur de différence d'ensemble entre deux ensembles.

Cf. également la section 4.4.6.11 La différence d'ensemble (setdiff).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(set, set) -> set

( multiset , multiset ) -> multiset

Exemple
<apply><setdiff/>
  <ci type="set"> A </ci>
  <ci type="set"> B </ci>
</apply>

C.2.6.12 MMLdefinition : card

Description

L'élément card est l'opérateur qui sert à dériver la dimension ou la cardinalité d'un ensemble. La dimension d'un ensemble multiple est simplement le nombre total des éléments de l'ensemble multiple.

Cf. également la section 4.4.6.12 La cardinalité (card).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

( set ) -> scalar

(multiset ) -> scalar

Exemple
<apply><eq/>
  <apply><card/><ci> A </ci></apply>
  <ci> 5 </ci>
</apply>

C.2.6.13 MMLdefinition : cartesianproduct

Description

L'élément cartesianproduct est l'opérateur de produit cartésien d'ensemble de deux ensembles (ou plus). Le produit cartésion d'ensembles multiples donne un ensemble multiple, puisqu'on peut répéter les n-tuples si les éléments dans les ensembles de base se répètent.

Cf. également la section 4.4.6.13 Le produit cartésien (cartesianproduct).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(set*) -> set

(multiset*) -> multiset

Exemple
<apply><cartesianproduct/>
  <ci> A </ci>
  <ci> B </ci>
</apply>
Exemple
<apply><cartesianproduct/>
  <reals/>
  <reals/>
  <reals/>
</apply>

C.2.7 Les suites et les séries

C.2.7.1 MMLdefinition : sum

Description

L'élément sum dénote l'opérateur de sommation. Les limites supérieures et inférieures de la somme et, plus généralement, le domaine des variables liées, sont définis par des éléments uplimit et lowlimit, ou d'une condition sur les variables liées. L'index de la somme est indiqué par un élément bvar.

Cf. également la section 4.4.7.1 La somme (sum).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(bvar*, ( (lowlimit, uplimit) |condition ), algebraic ) -> real

Exemple
<apply><sum/>
  <bvar> <ci> x </ci></bvar>
  <lowlimit><ci> a </ci></lowlimit>
  <uplimit><ci> b </ci></uplimit>
  <apply><ci> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>
Exemple
<apply><sum/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <condition><apply> <in/><ci> x </ci><ci type="set"> B </ci></apply></condition>
  <apply><ci type="function"> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>

C.2.7.2 MMLdefinition : product

Description

L'élément product dénote l'opérateur de produit. Les limites supérieures et inférieures du produit et, plus généralement, le domaine des variables liées sont définies par des éléments uplimit et lowlimit, ou d'une condition sur les variables liées. L'index du produit est indiqué par un élément bvar.

Cf. également la section 4.4.7.2 Le produit (product).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(bvar*, ( (lowlimit, uplimit) |condition ), algebraic ) -> real

Exemple
<apply><product/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <lowlimit> <ci> a </ci></lowlimit>
  <uplimit><ci> b </ci></uplimit>
  <apply><ci type="function"> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>
Exemple
<apply><product/>
  <bvar><ci> x </ci></bvar>
  <condition><apply> <in/><ci> x </ci><ci type="set"> B </ci></apply></condition>
  <apply><ci> f </ci><ci> x </ci></apply>
</apply>

C.2.7.3 MMLdefinition : limit

Description

L'élément limit représente l'opération consistant à prendre la limite d'une suite. Le point limite s'exprime en définissant un élément lowlimit et un élément bvar, ou en indiquant une condition sur une ou plusieurs variables liées.

Cf. également la section 4.4.7.3 Les limites (limit).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(bvar*, ( (lowlimit, uplimit) |condition ), algebraic ) -> real

Exemple
<apply><limit/>
  <apply>
  <tendsto type="above"/>
  <ci>x</ci><cn>0</cn>
  </apply>
  <apply><sin/><ci>x</ci></apply>
</apply>
Exemple
<apply><limit/>
  <tendsto><ci>x</ci><cn>0</cn></tendsto>
  <apply><sin/><ci>x</ci></apply>
</apply>

C.2.7.4 MMLdefinition : tendsto

Description

L'élément tendsto sert à exprimer la relation selon laquelle une quantité tend vers une valeur définie.

Cf. également la section 4.4.7.4 Tend vers (tendsto).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type above | below | all | MathMLtype all
Signature

(algebraic,algebraic) -> tendsto

[ type=direction ](algebraic,algebraic) -> tendsto(direction)

Exemple
<apply><tendsto type="above"/>
  <apply><power/><ci> x </ci><cn> 2 </cn></apply>
  <apply><power/><ci> a </ci><cn> 2 </cn></apply>
</apply>
Exemple
<apply><tendsto/>
  <vector><ci> x </ci><ci> y </ci></vector>
  <vector>
    <apply><ci type="function">f</ci><ci> x </ci><ci> y </ci></apply>
    <apply><ci type="function">g</ci><ci> x </ci><ci> y </ci></apply>
  </vector>
</apply>

C.2.8 Les fonctions classiques élémentaires

C.2.8.1 MMLdefinition : exp

Description

Cet élément représente la fonction d'exponentiation, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.2. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.2 L'exponentiel (exp).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété
<apply><eq/>
  <apply><exp/><cn>0</cn></apply>
  <cn>1</cn>
</apply>
Propriété

pour tout k entier, alors e^(z+2*pi*k*i)=e^z

Exemple
<apply><exp/><ci> x </ci></apply>

C.2.8.2 MMLdefinition : ln

Description

Cet élément représente la fonction ln (logarithme naturel), telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.1. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.3 Le logarithme naturel (ln).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

-pi lt Im ln x leq pi

Exemple
<apply><ln/><ci> a </ci></apply>

C.2.8.3 MMLdefinition : log

Description

Cet élément représente la fonction log. Elle est définie dans le Abramowitz et Stegun, Handbook of Mathematical Functions, section 4.1. Si son premier argument est un élément logbase, il indique la base du logarithme et la fonction s'applique sur le second argument en utilisant cette base. Si aucun élément logbase n'est présent, la base est censée être 10.

Cf. également la section 4.4.8.4 Le logarithme (log).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(logbase, real) -> real

(logbase,complex) -> complex

(real) -> real

(complex) -> complex

Propriété

a^b = c implique log_a c = b

Exemple
<apply><log/>
  <logbase><cn> 3 </cn></logbase>
  <ci> x </ci>
</apply>
Exemple
<apply><log/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.4 MMLdefinition : sin

Description

Cet élément représente la fonction sin, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.3. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

sin(0) = 0

Propriété

sin(integer*Pi) = 0

Propriété

sin(x) = (exp(ix)-exp(-ix))/2i

Exemple
<apply><sin/><ci> x </ci></apply>

C.2.8.5 MMLdefinition : cos

Description

Cet élément représente la fonction cos, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.3. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

cos(0) = 1

Propriété

cos(integer*Pi+Pi/2) = 0

Propriété

cos(x) = (exp(ix)+exp(-ix))/2

Exemple
<apply><cos/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.6 MMLdefinition : tan

Description

Cet élément représente la fonction tan, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.3. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

tan(integer*Pi) = 0

Propriété

tan(x) = sin(x)/cos(x)

Exemple
<apply><tan/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.7 MMLdefinition : sec

Description

Cet élément représente la fonction sec, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.3. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

sec(x) = 1/cos(x)

Exemple
<apply><sec/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.8 MMLdefinition : csc

Description

Cet élément représente la fonction csc, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.3. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

csc(x) = 1/sin(x)

Exemple
<apply><csc/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.9 MMLdefinition : cot

Description

Cet élément représente la fonction cot, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.3. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

cot(integer*Pi+Pi/2) = 0

Propriété

cot(x) = cos(x)/sin(x)

Propriété

cot A = 1/tan A

Exemple
<apply><cot/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.10 MMLdefinition : sinh

Description

Cet élément représente la fonction sinh, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.5. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

sinh A = 1/2 * (e^A - e^(-A))

Exemple
<apply><sinh/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.11 MMLdefinition : cosh

Description

Cet élément représente la fonction cosh, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.5. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

cosh A = 1/2 * (e^A + e^(-A))

Exemple
<apply><cosh/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.12 MMLdefinition : tanh

Description

Cet élément représente la fonction tanh, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.5. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

tanh A = sinh A / cosh A

Exemple
<apply><tanh/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.13 MMLdefinition : sech

Description

Cet élément représente la fonction sech, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.5. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

sech A = 1/cosh A

Exemple
<apply><sech/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.14 MMLdefinition : csch

Description

Cet élément représente la fonction csch, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.5. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

csch A = 1/sinh A

Exemple
<apply><csch/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.15 MMLdefinition : coth

Description

Cet élément représente la fonction coth, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.5. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

coth A = 1/tanh A

Exemple
<apply><coth/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.16 MMLdefinition : arcsin

Description

Cet élément représente la fonction arcsin, qui est l'inverse de la fonction sin, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.4. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arcsin(z) = -i ln (sqrt(1-z^2)-iz)

Exemple
<apply><arcsin/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.17 MMLdefinition : arccos

Description

Cet élément représente la fonction arccos, qui est l'inverse de la fonction cos, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.4. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arccos(z) = -i ln(z+i \sqrt(1-z^2))

Exemple
<apply><arccos/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.18 MMLdefinition : arctan

Description

Cet élément représente la fonction arctan, qui est l'inverse de la fonction tan, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.4. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arctan(z) = (log(1+iz)-log(1-iz))/2i

Exemple
<apply><arctan/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.19 MMLdefinition : arccosh

Description

Cet élément représente la fonction arccosh, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.6. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arccosh(z) = 2*ln(\sqrt((z+1)/2) + \sqrt((z-1)/2))

Exemple
<apply><arccosh/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.20 MMLdefinition : arccot

Description

Cet élément représente la fonction arccot, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.6. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arccot(-z) = - arccot(z)

Exemple
<apply><arccot/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.21 MMLdefinition : arccoth

Description

Cet élément représente la fonction arccoth, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.6. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arccoth(z) = (ln(-1-z)-ln(1-z))/2

Exemple
<apply><arccoth/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.22 MMLdefinition : arccsc

Description

Cet élément représente la fonction arccsc, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.6. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

function

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arccsc(z) = -i ln(i/z + \sqrt(1 - 1/z^2))

Exemple
<apply><arccsc/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.23 MMLdefinition : arccsch

Description

Cet élément représente la fonction arccsch, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.6. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arccsch(z) = ln(1/z + \sqrt(1+(1/z)^2))

Exemple
<apply><arccsch/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.24 MMLdefinition : arcsec

Description

Cet élément représente la fonction arcsec, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.4. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arcsec(z) = -i ln(1/z + i \sqrt(1-1/z^2))

Exemple
<apply><arcsec/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.25 MMLdefinition : arcsech

Description

Cet élément représente la fonction arcsech, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.6. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arcsech(z) = 2 ln(\sqrt((1+z)/(2z)) + \sqrt((1-z)/(2z)))

Exemple
<apply><arcsech/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.26 MMLdefinition : arcsinh

Description

Cet élément représente la fonction arcsinh, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.6. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arcsinh z = ln(z + \sqrt(1+z^2))

Exemple
<apply><arcsinh/><ci>x</ci></apply>

C.2.8.27 MMLdefinition : arctanh

Description

Cet élément représente la fonction arctanh, telle que décrite dans le Abramowitz et Stegun, section 4.6. Elle prend un seul argument.

Cf. également la section 4.4.8.1 Les fonctions trigonométriques courantes.

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

real -> real

complex -> complex

Propriété

arctanh(z) = - i * arctan(i * z)

Exemple
<apply><arctanh/><ci>x</ci></apply>

C.2.9 Les statistiques

C.2.9.1 MMLdefinition : mean

Description

La valeur moyenne d'un ensemble de données ou d'une variable aléatoire.

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 7.7.1.

Cf. également la section 4.4.9.1 La moyenne (mean).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

( random_variable) -> scalar

(scalar+) -> scalar

Exemple
<apply><mean/><ci type="discrete_random_variable"> X </ci></apply>
Exemple
<apply><mean/><cn>3</cn><cn>4</cn><cn>3</cn><cn>7</cn><cn>4</cn></apply>
Exemple
<apply><mean/><ci> X </ci></apply>

C.2.9.2 MMLdefinition : sdev

Description

Cet élément représente une fonction indiquant l'écart-type de l'échantillon formé par ses arguments. Les arguments sont des données en totalité, ou bien une variable aléatoire discrète, ou bien une variable aléatoire continue.

Pour des données numériques, il faut au moins deux valeurs et elle renvoie la racine carrée de la somme des carrés des écarts par rapport à la moyenne des arguments, divisée par le nombre des arguments moins un. Pour un type "discrete_random_variable", c'est la racine carrée du second moment par rapport à la moyenne. Cette définition s'applique aussi aux identificateurs de type "continuous_random_variable".

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, (7.7.11) section 7.7.1.

Cf. également la section 4.4.9.2 L'écart-type (sdev).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(scalar,scalar+) -> scalar

(deiscrete_random_variable) -> scalar

(continuous_random_variable) -> scalar

Exemple
<apply><sdev/><cn>3</cn><cn>4</cn><cn>2</cn><cn>2</cn></apply>
Exemple
<apply><sdev/>
<ci type="discrete_random_variable"> X </ci>
</apply>

C.2.9.3 MMLdefinition : variance

Description

Cet élément représente une fonction indiquant la variance de ses arguments, c'est-à-dire, le carré de l'écart-type. Les arguments sont des données en totalité, ou bien un identificateur de type "discrete_random_variable" ou "continuous_random_variable".

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, sections 7.1.2 et 7.7.

Cf. également la section 4.4.9.3 La variance (variance).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(scalar*) -> scalar

(deiscrete_random_variable) -> scalar

(continuous_random_variable) -> scalar

Exemple
<apply><variance/><cn>3</cn><cn>4</cn><cn>2</cn><cn>2</cn></apply>
Exemple
<apply><variance/>
<ci type="discrete_random_variable"> X </ci>
</apply>

C.2.9.4 MMLdefinition : median

Description

Cet élément représente une fonction n-aire indiquant la médiane de ses arguments. C'est-à-dire, si les données étaient rangées en ordre croissant, alors elle indiquerait celle au milieu (pour une quantité impaire de donnéees) ou la moyenne des deux du milieu (pour une quantité paire de données)

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 7.7.1.

Cf. également la section 4.4.9.4 La médiane (median).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(scalar+) -> scalar

Exemple
<apply><median/><cn>3</cn><cn>4</cn><cn>2</cn><cn>2</cn></apply>

C.2.9.5 MMLdefinition : mode

Description

Cet élément représente le mode de n valeurs de données. Le mode est la valeur de données dont la fréquence d'apparition est la plus grande.

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 7.7.1.

Cf. également la section 4.4.9.5 Mode (mode).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA
Signature

(scalar+) -> scalar

Exemple
<apply><mode/><cn>3</cn><cn>4</cn><cn>2</cn><cn>2</cn></apply>

C.2.9.6 MMLdefinition : moment

Description

Cet élément sert à indiquer le ième moment d'un ensemble de données ou d'une variable aléatoire. Sauf indication contraire, le moment se calcule par rapport à l'origine. Par exemple, le ième moment de x par rapport à l'origine s'obtient par moment(0, ix).

Le premier argument indique le point par rapport auquel le moment est calculé. Il s'agit soit d'un point réel (par exemple, 0), soit d'une fonction qui peut être utilisée sur les données pour calculer ce point. Pour indiquer un moment central, utilisez l'élément mean. Le deuxième argument indique quel moment définir par rapport à ce point. Pour le ième moment, l'argument serait i. Le troisième argument est soit une variable aléatoire discrète ou continue, soit le début d'une suite de données. Si c'est une suite de données, alors le ième moment est (1/n) (x_1^i + x_2^i + ... + x_n^i).

L'utilisation de l'élément degree pour indiquer l'ordre du moment est déconseillée.

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 7.7.1.

Cf. également la section 4.4.9.6 Le moment (moment).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(degree, momentabout? , scalar+) -> scalar

(degree, momentabout? , discrete_random_variable) -> scalar

(degree, momentabout? , continuous_random_variable) -> scalar

Exemple

Le troisième moment par rapport au point p d'une variable aléatoire discrète.


<apply> <moment/>
  <degree><cn>3</cn></degree>
  <momentabout><ci>p</ci></momentabout>
  <ci>X</ci>
</apply>
Exemple

Le moment central d'ordre trois d'un ensemble de données.


<apply><moment/>
  <degree><cn>3</cn></degree>
  <momentabout><mean/></momentabout>
  <cn>6</cn><cn>4</cn><cn>2</cn><cn>2</cn><cn>5</cn>
</apply>
Exemple

Le moment central d'ordre trois d'une variable aléatoire discrète.


<apply><moment/>
  <degree><cn>3</cn></degree>
  <momentabout><mean/></momentabout>
  <ci type="discrete_random_variable"> X </ci>
</apply>
Exemple

Le moment d'ordre trois d'un ensemble de données par rapport à l'origine.


<apply><moment/>
  <degree><cn>3</cn></degree>
  <momentabout><cn>0</cn></momentabout>
  <cn>6</cn><cn>4</cn><cn>2</cn><cn>2</cn>
</apply>

C.2.9.7 MMLdefinition : momentabout

Description

Cet élément sert à identifier le point par rapport auquel calculer un moment. Il peut identifier un point explicite ou une méthode selon laquelle calculer le point d'après les données fournies. Par exemple, on peut calculer le moment par rapport à la moyenne en utilisant l'élément mean.

Cf. également la section 4.4.9.7 Le point du moment (momentabout).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(function) -> method

(scalar) -> point

Exemple

Le moment d'ordre trois par rapport au point p d'une variable aléatoire discrète.


<apply> <moment/>
  <degree> <cn> 3 </cn> </degree>
  <momentabout> <ci> p </ci> </momentabout>
  <ci> X </ci>
</apply>
Exemple

Le moment central d'ordre trois d'un ensemble de données.


<apply><moment/>
  <degree><cn> 3 </cn></degree>
  <momentabout><mean/></momentabout>
  <cn>6</cn><cn>4</cn><cn>2</cn><cn>2</cn><cn>5</cn>
</apply>

C.2.10 L'algèbre linéaire

C.2.10.1 MMLdefinition : vector

Description

Un vecteur est un n-tuple ordonné de valeurs représentant un élément dans un espace vectoriel à n dimensions. Les valeurs proviennent toutes du même anneau, habituellement l'ensemble des réels ou celui des complexes. Lorsque l'orientation importe, telle que pour la prémultiplication ou la postmultiplication par une matrice, le vecteur est traité comme s'il s'agissait d'un vecteur colonne, et sa transposée comme un vecteur ligne. On peut utiliser l'attribut type pour indiquer explicitement un vecteur ligne ("row").

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 2.4.

Cf. également la section 4.4.10.1 Les vecteurs (vector).

Classification

constructor

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type row | column | MathMLtype column
Signature

(real*) -> vector(type=real)

[type=vectortype]((cn|ci|apply)*) -> vector(type=vectortype)

Propriété

vector=column_vector

Propriété

matrix * vector = vector

Propriété

matrix * column_vector = column_ vector

Propriété

row_vector*matrix = row_vector

Propriété

transpose(vector) = row_vector

Propriété

transpose(column_vector) = row_vector

Propriété

transpose(row_vector) = column_vector

Propriété

distributive sur les scalaires.

Propriété

associativité

Propriété

Matrix * column vector

Propriété

row vector * Matrix

Exemple
<vector>
  <cn> 1 </cn>
  <cn> 2 </cn>
  <cn> 3 </cn>
<ci> x </ci>
</vector>
Exemple
<vector type="row">
  <cn> 1 </cn>
  <cn> 2 </cn>
  <cn> 3 </cn>
  <ci> x </ci>
</vector>

C.2.10.2 MMLdefinition : matrix

Description

C'est l'élément constructeur d'une matrice. Il faut utiliser des éléments matrixrow comme arguments. Il sert à représenter des matrices.

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 2.5.1.

Cf. également la section 4.4.10.2 Les matrices (matrix).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
type real | complex | integer | symbolic | integer | MathMLtype real
Signature

(matrixrow*) -> matrix

[type=matrixtype](matrixrow*) -> matrix(type=matrixtype)

Propriété

multiplication scalaire

Propriété

multiplication scalaire

Matrice * vecteur colonne
Propriété

multiplication scalaire

Addition
Propriété

multiplication scalaire

Matrice * Matrice
Exemple
<matrix>
  <matrixrow><cn> 0 </cn> <cn> 1 </cn> <cn> 0 </cn></matrixrow>
  <matrixrow><cn> 0 </cn> <cn> 0 </cn> <cn> 1 </cn></matrixrow>
  <matrixrow><cn> 1 </cn> <cn> 0 </cn> <cn> 0 </cn></matrixrow>
</matrix>

C.2.10.3 MMLdefinition : matrixrow

Description

Cet élément est un constructeur n-aire qui sert à représenter les lignes des matrices. Ses arguments devraient être membres d'un anneau.

Cf. également la section 4.4.10.3 Les lignes de matrice (matrixrow).

Classification

constructeur

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(ringelement +) -> matrixrow

Exemple
<matrixrow>
  <cn> 1 </cn>
  <cn> 2 </cn>
</matrixrow>

C.2.10.4 MMLdefinition : determinant

Description

Le déterminant d'une matrice. C'est une fonction unaire.

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 2.5.4.

Cf. également la section 4.4.10.4 Le déterminant (determinant).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA
Signature

(matrix)-> scalar

Exemple
<apply><determinant/>
  <ci type="matrix"> A </ci>
</apply>

C.2.10.5 MMLdefinition : transpose

Description

La transposée d'une matrice ou d'un vecteur.

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 2.5.1.

Cf. également la section 4.4.10.5 La transposée (transpose).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(vector)->vector(type=row)

(matrix)->matrix

(vector(type=row)->vector

Propriété

transpose(transpose(A))= A

Propriété

transpose(transpose(V))= V

Exemple
<apply><transpose/>
  <ci type="matrix"> A </ci>
</apply>
Exemple
<apply><transpose/>
  <ci type="vector"> V </ci>
</apply>

C.2.10.6 MMLdefinition : selector

Description

L'opérateur qui sert à extraire des sous-objets de vecteurs, de matrices, de lignes de matrice et de listes. On accède aux éléments en fournissant un élément index pour chaque dimension. En ce qui concerne les matrices, on sélectionne les sous-matrices en fournissant un élément d'index en moins. Pour une matrice A et un vecteur colonne V : select(i, j, A) est le i,jème élément de A ; select(i, A) est la ligne de matrice formée à partir de la ième ligne de A ; select(i, V) est le ième élément de V ; select(V) est la séquence de tous les éléments de V ; select(A) est la séquence de tous les éléments de A, extraits ligne par ligne ; select(i, L) est le ième élément d'une liste ; select(L) est la séquence des éléments d'une liste.

Cf. également la section 4.4.10.6 Le sélecteur (selector).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(matrix , scalar,scalar)->scalar

(matrix, scalar)->matrixrow

(matrix)->scalar*

((vector|list|matrixrow) , scalar )->scalar

(vector|list|matrixrow)->scalar*

Propriété

pour tout vecteur V, V = vector(select(V))

Propriété

pour toute matrice M, M = matrix(select(M))

Exemple
<selector/><ci type="matrix">M</ci><cn>3</cn><cn>2</cn>

C.2.10.7 MMLdefinition : vectorproduct

Description

Le produit vectoriel (ou produit croisé) de deux vecteurs tridimensionnels non nuls v1 et v2 est défini par :

v1 x v2 = n norm(v1) * norm(v2) sin(theta), où n est le vecteur unitaire normal perpendiculaire aux deux, selon la règle de la main droite.

Cf. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 2.4.

Cf. également la section 4.4.10.7 Le produit vectoriel (vectorproduct).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(vector,vector)->vector

Propriété

si v1 et v2 sont parallèles, alors leur produit vectoriel est 0

Exemple
<apply><vectorproduct/><ci>u</ci><ci>v</ci></apply>

C.2.10.8 MMLdefinition : scalarproduct

Description

Cet élément représente la fonction de produit scalaire. Il prend deux arguments vecteurs et renvoie une valeur scalaire. Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est défini par |a| * |b| * cos(\theta), où \theta est l'angle entre les deux vecteurs et |.| est une fonction de dimension euclidienne. Remarquez qu'on désigne souvent le produit scalaire par produit point (N.d.T. chez les anglophones).

Cf. également la section 4.4.10.8 Le produit scalaire (scalarproduct).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(vector,vector) -> scalar

Propriété

si le produit scalaire de deux vecteurs est 0, alors ils sont orthogonaux.

Exemple
<apply><scalarproduct/><ci>u</ci><ci>v</ci></apply>

C.2.10.9 MMLdefinition : outerproduct

Description

Cet élément représente la fonction de produit externe. Elle prend deux arguments vecteurs et renvoie une matrice. On la définit ainsi : si on écrit le {i,j}ème élément de la matrice à renvoyer comme m_{i,j}, alors m_{i,j}=a_i * b_j, où a_i et b_j sont respectivement les ième et jème éléments de a et b.

Cf. également la section 4.4.10.9 Le produit externe (outerproduct).

Classification

fonction

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

(vector,vector) -> matrix

Exemple
<apply><outerproduct/><ci>u</ci><ci>v</ci></apply>

C.2.11 Les constantes et les symboles

C.2.11.1 MMLdefinition : integers

Description

L'élément integers représente l'ensemble de tous les entiers.

Cf. également la section 4.4.12.1 Les entiers (integers).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

ensemble

Propriété

n est un entier implique que n+1 est un entier.


<apply><implies/>
  <apply><in/><ci>n</ci><integers/></apply>
  <apply><in/><apply><plus/><ci>n</ci><cn>1</cn></apply><integers/></apply>
</apply>
Propriété

0 est un entier


<apply><in/><cn>0</cn><integers/></apply>
Propriété

n est un entier implique que -n est un entier.


<apply><implies/>
  <apply><in/><ci>n</ci><integers/></apply>
  <apply><in/><apply><minus/><ci>n</ci></apply><integers/></apply>
</apply>
Exemple
<apply><in/>
  <cn type="integer"> 42 </cn>
  <integers/>
</apply>

C.2.11.2 MMLdefinition : reals

Description

L'élément reals représente l'ensemble de tous les nombres réels.

Cf. également la section 4.4.12.2 Les réels (reals).

Classification

symbole

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

ensemble

Propriété

S un sous-ensemble de R, il existe y dans R : pour tout x dans S, x <= y( implique qu'il existe z dans R tel que ((pour tout x dans S, x <= z) et ((pour tout x dans S, x <= w) implique z <= w)

Propriété

pour tout a, b | a, b rationnels et a < b implique qu'il existe a, c rationnels tels que a < c et c < b

Exemple
<apply><in/>
  <cn type="real"> 44.997 </cn>
  <reals/>
</apply>

C.2.11.3 MMLdefinition : rationals

Description

L'élément rationals représente l'ensemble de tous les nombres rationnels.

Cf. également la section 4.4.12.3 Les nombres rationnels (rationals).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

ensemble

Propriété

pour tout z rationnel, il existe des entiers p et q tels que p/q = z


<apply><forall/>
  <bvar><ci>z</ci></bvar>
  <condition><apply><in/><ci>z</ci><rationals/></apply></condition>
  <apply><exists/>
    <bvar><ci>p</ci></bvar>
    <bvar><ci>q</ci></bvar>
    <apply><and/>
      <apply><in/><ci>p</ci><integers/></apply>
      <apply><in/><ci>q</ci><integers/></apply>
      <apply><eq/>
        <apply><divide/><ci>p</ci><ci>q</ci></apply><integers/></apply>
        <ci>z</ci>
      </apply>
    </apply>
  </apply>
</apply>
Propriété

ForAll([a,b], a et b rationnels, a < b implique qu'il existe c tel que a < c et c < b)

Propriété

pour tout z rationnel, il existe p et q entiers tels que p/q = z

Exemple
<apply><in/>
  <cn type="rational"> 22 <sep/>7</cn>
  <rationals/>
</apply>

C.2.11.4 MMLdefinition : naturalnumbers

Description

L'élément naturalnumbers représente l'ensemble de tous les nombres naturels, c.à.d. les entiers non négatifs.

Cf. également la section 4.4.12.4 Les nombres naturels (naturalnumbers).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

ensemble

Propriété

pour tout n | n un nombre naturel implique n+1 est un nombre naturel


<apply><forall/>
  <bvar><ci>n</ci></bvar>
  <apply><implies/>
    <apply><in/><ci>n</ci><naturalnumbers/></apply>
    <apply><in/><apply><plus/><ci>n</ci><cn>1</cn></apply><naturalnumbers/></apply>
  </apply>
</apply>
Propriété

0 est un nombre naturel.


<apply><in/><cn>0</cn><naturalnumbers/></apply>
Propriété

pour tout n | n un nombre naturel équivaut à dire n = 0 ou n-1 est un nombre naturel

Exemple
<apply><in/>
  <cn type="integer">1729</cn>
  <naturalnumbers/>
</apply>

C.2.11.5 MMLdefinition : complexes

Description

L'élément complexes représente l'ensemble de tous les nombres complexes, c.à.d. les nombres ayant une partie réelle et une partie imaginaire.

Cf. également la section 4.4.12.5 Les complexes (complexes).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

ensemble

Propriété

pour tout z | si z est un complexe, alors il existe xy réels tels que z = x + i * y

Exemple
<apply><in/>
  <cn type="complex">17<sep/>29</cn>
  <complexes/>
</apply>

C.2.11.6 MMLdefinition : primes

Description

L'élément primes représente l'ensemble de tous les nombres naturels premiers, c.à.d. les entiers supérieurs à 1 qui n'ont pas d'autres facteurs entiers positifs qu'eux-mêmes et 1.

Cf. également la section 4.4.12.6 Les premiers (primes).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

ensemble

Propriété

ForAll( [d,p], p un premier, Implies( d | p , d=1 ou d=p ) )


<apply><forall/>
  <bvar><ci>d</ci></bvar>
  <bvar><ci>p</ci></bvar>
  <condition>
    <apply><and/>
    <apply><in/><ci>p</ci><primes/></apply>
    <apply><in/><ci>d</ci><naturalnumbers/></apply>
    </apply>
  </condition>
  <apply><implies/>
    <apply><divide/><ci>d</ci><ci>p</ci></apply>
    <apply><or/>
      <apply><eq/><ci>d</ci><cn>1</cn></apply>
      <apply><eq/><ci>d</ci><ci>p</ci></apply>
    </apply>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply>
<in/>
<cn type="integer">17</cn>
<primes/>
</apply>

C.2.11.7 MMLdefinition : exponentiale

Description

L'élément exponentiale représente la constante mathématique qui est la base exponentielle des logarithmes naturels, couramment notée e. Elle vaut approximativement 2,718281828.

Cf. également la section 4.4.12.7 L'exponentielle e (exponentiale).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

constante réelle

Propriété

ln(e) = 1

<apply><eq/>
  <apply><ln/><exponentiale/></apply>
  <cn>1</cn>
</apply>
Propriété

e vaut approximativement 2,718281828


<apply><apply><approx/>
  <exponentiale/>
  <cn>2.718281828 </cn>
</apply>
</apply>
Propriété

e = la somme de 1/(j!), j variant de 0 à l'infini

Exemple
<apply> <eq/>
  <apply><ln/><exponentiale/></apply>
  <cn>1</cn>
</apply>

C.2.11.8 MMLdefinition : imaginaryi

Description

L'élément imaginaryi représente la constante mathématique qui est la racine carrée de -1, couramment notée i.

Cf. également la section 4.4.12.8 L'imaginaire i (imaginaryi).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

constante complexe

Propriété

sqrt(-1) = i


<apply><eq/>
  <imaginaryi/>
  <apply><root/><cn>-1</cn><cn>2</cn></apply>
</apply>
Exemple
<apply> <eq/>
  <apply><power/>
    <imaginaryi/>
    <cn>2</cn>
  </apply>
  <cn>-1</cn>
</apply>

C.2.11.9 MMLdefinition : notanumber

Description

L'élément notanumber représente le résultat d'une opération en virgule flottante mal définie, appelé parfois aussi NaN.

Cf. également la section 4.4.12.9 Pas un nombre (notanumber).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

non définie

Exemple
<apply><eq/>
  <apply><divide/><cn>0</cn><cn>0</cn></apply>
  <notanumber/>
</apply>

C.2.11.10 MMLdefinition : true

Description

L'élément true représente la constante logique de vérité.

Cf. également la section 4.4.12.10 Vrai (true).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA
Signature

constante booléenne

Propriété

not true = false


<apply><eq/>
  <apply><not/><true/></apply>
  <cn>false</cn>
</apply>
Propriété

pour tout booléen p, p OU true est vrai


<declare type="boolean"><ci>p</ci></declare>
<apply><forall/>
  <bvar><ci>p</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><or/><ci>p</ci><true/></apply>
    <true/>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply> <eq/>
  <apply><or/>
    <true/>
    <ci type = "logical">P</ci>
  </apply>
  <true/>
</apply>

C.2.11.11 MMLdefinition : false

Description

L'élément false représente la constante logique de fausseté.

Cf. également la section 4.4.12.11 Faux (false).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

constante booléenne

Propriété

not true = false


<apply><eq/>
  <apply><not/><true/></apply>
  <false/>
</apply>
Propriété

p ET false est faux


<declare type="boolean"><ci>p</ci></declare>
<apply><forall/>
  <bvar><ci>p</ci></bvar>
  <apply><and/><ci>p</ci><false/></apply>
  <false/>
</apply>
Exemple
<apply><eq/>
  <apply><and/>
    <false/>
    <ci type = "logical">P</ci>
  </apply>
  <false/>
</apply>

C.2.11.12 MMLdefinition : emptyset

Description

L'élément emptyset représente l'ensemble vide.

Cf. également la section 4.4.12.12 L'ensemble vide (emptyset).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

ensemble

Propriété

pour tout ensemble S, intersect(S,emptyset) = emptyset


<apply><forall/><bvar><ci type="set">S</ci></bvar>
  <apply><eq/>
    <apply><intersect/><emptyset/><ci>S</ci></apply>
    <emptyset/>
  </apply>
</apply>
Exemple
<apply><neq/>
  <integers/>
  <emptyset/>
</apply>

C.2.11.13 MMLdefinition : pi

Description

L'élément pi représente la constante mathématique correspondant au rapport de la circonférence d'un cercle sur son diamètre, et valant approximativement 3,141592653.

Cf. également la section 4.4.12.13 Pi (pi).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

constante

Propriété
<apply><approx/>
  <cn>pi</cn>
  <cn> 3.141592654 </cn>
</apply>
Propriété

pi = 4 * la somme de ((1/(4j+1))-(1/(4j+3))), pour j variant de 0 à l'infini,

Exemple
<apply><approx/>
  <pi/>
  <cn type = "rational">22<sep/>7</cn>
</apply>

C.2.11.14 MMLdefinition : eulergamma

Description

Un symbole représentant la notion de constante gamma, comme défini dans le CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, ed. Dan Zwillinger, CRC Press Inc., 1996, section 6.1.3. C'est la limite de 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/m - ln m, lorsque m tend vers l'infini, qui vaut approximativement 0,577215664.

Cf. également la section 4.4.12.14 Le gamma d'Euler (eulergamma).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

constante réelle

Propriété

gamma vaut approximativement 0,5772156649


<apply><approx/>
  <eulergamma/>
  <cn> .5772156649 </cn>
</apply>
Propriété

gamma = limit_(m -> infinity)(sum_(j variant de 1 à m)(1/j) - ln m)

Exemple
<apply><approx/>
  <eulergamma/>
  <cn>0.5772156649</cn>
</apply>

C.2.11.15 MMLdefinition : infinity

Description

L'infini. L'interprétation dépend du contexte. La valeur par défaut est l'infini positif servant à étendre la ligne des nombres réels. On peut utiliser l'attribut type pour indiquer qu'il s'agit d'un infini complexe ("complex").

Cf. également la section 4.4.12.15 L'infini (infinity).

Classification

constante

MMLattribute
NomValeurValeur par défaut
definitionURL une adresse URI identifiant la définition APPENDIX_C
encoding CDATA MathML
Signature

constante

Propriété

infinity/infinity n'est pas défini


<apply><eq/>
  <apply><divide/><infinity/><infinity/></apply>
  <notanumber/>
</apply>
Propriété

pour tout réel x, x < infinity


<apply><forall/>
  <bvar><ci>n</ci></bvar>
  <condition><apply><in/><ci>n</ci><reals/></apply></condition>
  <apply><lt/><ci>n</ci><infinity/></apply>
</apply>
Exemple
<apply><eq/>
  <apply><limit/>
    <bvar><ci>x</ci></bvar>
    <condition><apply><tendsto/><ci>x</ci><infinity/></apply></condition>
    <apply><divide/><cn>1</cn><ci>x</ci></apply>
  </apply>
  <cn>0</cn>
</apply>

Table des matières : Le langage de balisage mathématique (MathML) version 2.0
Chapitre précédent : B La grammaire de validation du balisage de contenu
Chapitre suivant : D Le modèle objet de document de MathML